1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol
1) Hoành độ giao điểm của (P) và (d)
\[{x^2} = (m + 1)x - m + 5\]
\[ \Leftrightarrow {x^2} - (m + 1)x + m - 5 = 0\](*)
Ta có \[\Delta = {(m + 1)^2} - 4(m - 5)\]
\[ = {m^2} - 2m + 21\]
\[ = {(m - 1)^2} + 20 > 0\]
Nên (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B
Theo hệ thức vi-et \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 1\\{x_1}.{x_2} = m - 5\end{array} \right.\)
(*) \( \Leftrightarrow {x^2} - x - 5 = m(x - 1)\)
Xét \(x = 1\) không phải là nghiệm của phương trình
\( \Rightarrow x - \frac{5}{{x - 1}} = m\) (1)
Vì \({x_1};{x_2} \in Z\)nên \(m + 1\) và \(m - 5\) là các số nguyên do đó \(m\)cũng là số nguyên
Từ (1) ta có
\(m \in Z\) khi \(\left( {x - \frac{5}{{x - 1}}} \right) \in Z\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \in Z\\5 \vdots \left( {x - 1} \right)\end{array} \right.\)
Suy ra \(m = - 3;m = 5\)
\(\left[ \begin{array}{l}x - 1 = - 5 \Leftrightarrow x = - 4 \Rightarrow m = - 3\\x - 1 = - 1 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow m = 5\\x - 1 = 5 \Leftrightarrow x = 6 \Rightarrow m = 5\\x - 1 = 1 \Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow m = - 3\end{array} \right.\)
Vậy \(m = - 3;m = 5\) thỏa yêu cầu bài toán
2) \[{x^4} - 2{x^3} + {x^2} - 16{y^2} + 12x - 16y + 4 = 0\]
\[ \Leftrightarrow {x^4} + {x^3} - 3{x^3} - 3{x^2} + 4{x^2} + 4x + 8x + 8 = 16{y^2} + 16y + 4\]
\[ \Leftrightarrow (x + 1){x^3} + 3{x^2}(x + 1) + 4x(x + 1) + 8(x + 1) = 16{y^2} + 16y + 4\]
\( \Leftrightarrow (x + 1)({x^3} - 3{x^2} + 4x + 8) = {(4y + 2)^2}\)
\( \Leftrightarrow {(x + 1)^2}({x^2} - 4x + 8) = {(4y + 2)^2}\)
Vì \(y \in z \Rightarrow 4y + 2 \ne 0 \Rightarrow x \ne - 1\)
Vì \(x,y \in z\) nên \({(x + 1)^2}\) và \({(4y + 2)^2}\) là số chính phương khác 0 nên \(({x^2} - 4x + 8)\) cũng là số chính phương
Đặt \({x^2} - 4x + 8 = m\) \((m \in {N^*})\)
\( \Leftrightarrow {(x - 2)^2} + 4 = {m^2}\)
\( \Leftrightarrow {(x - 2)^2} - {m^2} = - 4\)
\( \Leftrightarrow (x - 2 - m)(x - 2 + m) = - {4^{(*)}}\)
Do \(x - 2 - m < x - 2 + m\)
Nên\[\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 2 - m = - 4\\x - 2 + m = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 2 - m = - 2\\x - 2 + m = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 2 - m = - 1\\x - 2 + m = 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\m = \frac{5}{2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\m = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{7}{2}\\m = \frac{5}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\]
\(x = - 2 \Rightarrow {(4y + 2)^2} = 4\) \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4y + 2 = 2\\4y + 2 = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4y = 0\\4y = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0\\y = - 1\end{array} \right.\]
Vậy nghiệm nguyên thỏa ycbt là: (– 2; 0); (– 2; – 1).