1) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho parabol

2/4

1) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):\;y = 2\left( {m - 1} \right)x + 3\).

Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt parabol\(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},\;{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} + 2{x_2} = 5.\)

2) Chứng minh rằng phương trình \(\left( {a{x^2} + 2bx + c} \right)\left( {b{x^2} + 2cx + a} \right)\left( {c{x^2} + 2ax + b} \right) = 0\) luôn có nghiệm với mọi số thực \(a,b,c.\)

3) Cho hai số thực \(x\) và \(y\) thỏa mãn \(x > 1,\;y > 1\)

a) Chứng minh rằng \(\frac{x}{{\sqrt {x - 1} }}\) \( \ge 2\).

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = \(\frac{{{x^2}}}{{y - 1}} + \frac{{{y^2}}}{{x - 1}}\)

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

1)Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) là

\({x^2} = 2\left( {m - 1} \right)x + 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - 3 = 0\)

Do \(1.\left( { - 3} \right) = - 3 < 0\) nên phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\;{x_2}\)

Do đó đường thẳng \(\left( d \right)\) luôn cắt parabo; \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},\;{x_2}.\)

Theo hệ thức Vi-ét, ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right)\;\;\;\;\;\left( 1 \right)}\\{{x_1}{x_2} = - 3\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

Lấy \({x_1} + 2{x_2} = 5\) trừ (1) vế theo vế ta được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_2} = 7 - 2m\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{x_1} = 2\left( {m - 1} \right) - \left( {7 - 2m} \right) = 4m - 9}\end{array}} \right.\)

Thay vào (2) ta được \(\left( {7 - 2m} \right)\left( {4m - 9} \right) = - 3 \Leftrightarrow - 8{m^2} + 46m - 60 = 0\)

\( \Leftrightarrow 4{m^2} - 23m + 30 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 2}\\{m = \frac{{15}}{4}}\end{array}} \right.\)

\({\rm{Vay\;}}m \in \left\{ {2;\frac{{15}}{4}} \right\}\)

2)Ta có \(\left( {a{x^2} + 2bx + c} \right)\left( {b{x^2} + 2cx + a} \right)\left( {c{x^2} + 2ax + b} \right) = 0{\rm{\;}} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a{x^2} + 2bx + c = 0\;\;\;\;\left( 1 \right)}\\{b{x^2} + 2cx + a = 0\;\;\;\;\left( 2 \right)}\\{c{x^2} + 2ax + b = 0\;\;\;\;\left( 3 \right)}\end{array}} \right.\)

· Trường hợp 1: Nếu \(a.b.c = 0\) thì phương trình đã cho luôn có nghiệm

· Trường hợp 2: Nếu \(a.b.c \ne 0\). , ta có Δ1'=b2−acΔ2'=c2−abΔ3'=a2−bc.

Khi đó 2Δ1'+Δ2'+Δ3'=2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ca

\( = {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} \ge 0\).

Suy ra một trong ba số Δ1',Δ2',Δ3' không âm.

Do đó, một trong ba phương trình (1), (2), (3) có nghiệm nên ta có điều phải chứng minh
3)

a) Chứng minh rằng \(\frac{x}{{\sqrt {x - 1} }}\) \( \ge 2\).

Áp dụng bất đẳng thức \(AM - GM\) cho hai số thực dương \(\left( {x - 1} \right)\) và 1 ta được

\(x = \left( {x - 1} \right) + 1 \ge 2\sqrt {\left( {x - 1} \right).1} = 2\sqrt {x - 1} .\)

Vậy \(\frac{x}{{\sqrt {x - 1} }} \ge 2\) với mọi số thực \(x > 1\). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x - 1 = 1 \Leftrightarrow x = 2.\)

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = \(\frac{{{x^2}}}{{y - 1}} + \frac{{{y^2}}}{{x - 1}}\)

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số thực dương \(\frac{{{x^2}}}{{y - 1}}\) và \(\frac{{{y^2}}}{{x - 1}}\) ta được

\(T = \;\frac{{{x^2}}}{{y - 1}} + \frac{{{y^2}}}{{x - 1}} \ge 2\sqrt {\frac{{{x^2}}}{{y - 1}}.\frac{{{y^2}}}{{x - 1}}} = 2.\frac{x}{{\sqrt {x - 1} }}.\frac{y}{{\sqrt {y - 1} }} \ge 2.2.2 = 8\)

Vậy \(\min T = 8\) khi \(x = y = 2.\)