1) Tính giá trị của biểu thức \(P = ( {{x^2} + 2x + 2021}

1)Ta có:

\(x = \;\sqrt {\frac{2}{{4 - \sqrt {15} }}}  - \frac{4}{{\sqrt 5  - 1}}\)\( = \sqrt {8 + 2\sqrt {15} }  - \frac{{4\left( {\sqrt 5  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 5  - 1} \right)\left( {\sqrt 5  + 1} \right)}}\)\( = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)}^2}}  - \left( {\sqrt 5  + 1} \right)\)

\( = \sqrt 5  + \sqrt 3  - \sqrt 5  - 1 = \sqrt 3  - 1\)

Suy ra \({\left( {x + 1} \right)^2} = 3 \Leftrightarrow {x^2} + 2x = 2\)

Do đó \(P = {\left( {{x^2} + 2x + 2021} \right)^{2024}} = {2023^{2024}}.\)

2) Giải phương trình \(2{x^2} + 2x - 1 = 3x\sqrt {2x - 1} .\)

2)Điều kiện: \(x \ge \frac{1}{2}.\)

Đặt \(t = \sqrt {2x - 1}  \ge 0\), phương trình đã cho trở thành

\(2{x^2} + {t^2} = 3xt \Leftrightarrow {t^2} - 3xt + 2{x^2} = 0\; \Leftrightarrow \left( {t - x} \right)\left( {t - 2x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = x}\\{t = 2x}\end{array}} \right.\)

Với \(t = x,\;x \ge \frac{1}{2}\) nên \(\sqrt {2x - 1}  = x \Leftrightarrow 2x - 1 = {x^2} \Leftrightarrow x = 1.\)

Với \(t = 2x,\;x \ge \frac{1}{2}\) nên \(\sqrt {2x - 1}  = 2x \Leftrightarrow 2x - 1 = 4{x^2} \Leftrightarrow 4{x^2} - 2x + 1 = 0,\) phương trình vô nghiệm do  \(\Delta ' < 0\)

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm \(S = \left\{ 1 \right\}.\)

3)Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) vế theo vế ta được

\({x^3} - {y^3} =  - x + y \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) + x - y = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x = y\) do \({x^2} + xy + {y^2} + 1 = {\left( {x + \frac{y}{2}} \right)^2} + \frac{{3{y^2}}}{4} + 1 > 0,\;\forall x,y\)

Thay \(y = x\;\) vào phương trình (1), ta được \(3{x^3} = 6x \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0\;\;\;\;\;\;}\\{x =  \pm \sqrt 2 .}\end{array}} \right.\)

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình đã cho là \(S = \left\{ {\left( {0;} \right);(\sqrt 2 ;\sqrt 2 ;( - \sqrt 2 ; - \sqrt 2 } \right\}\).