1) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn

1) Cách 1. Ta có các biến đổi phương trình sau

                           \({4^x} + \left( {1 + {3^y}} \right)\left( {1 + {7^y}} \right) = {2^x}\left( {{3^y} + {7^y} + 2} \right)\)

                          \( \Leftrightarrow {2^{2x}} - 1 + 2 + {3^y} + {7^y} + {21^y} = {2^x}\left( {{3^y} + {7^y} + 2} \right)\)

                          \( \Leftrightarrow \left( {{2^x} - 1} \right)\left( {{3^y} + {7^y} + 1 - {2^k}} \right) = {21^y}\)  (1)

              Ta chứng minh UCLN \(\left( {{2^x} - 1;{3^x} + {7^y} + 1 - {2^x}} \right) = 1\;\).Thật vậy, nếu UCLN(\({2^x} - 1;{3^x} + {7^y} + 1 - {2^x}\) ) > 1 thì gọi p là ước nguyên tố chung của \({2^x} - 1,{3^x} + {7^y} + 1 - {2^x}\). Suy ra p |\({3^y} + {7^y}\) . chú ý là \({3^y} + {7^y}\;\)đều không chia hết cho 3, 7 nên \(p \ne 3,7.\) Lại có p|\({21^y}\)  nên p \( \in \){3, 7} mâu thuẫn.

            Vậy UCLN\(\left( {{2^x} - 1;{3^x} + {7^y} + 1 - {2^x}} \right) = 1\;\) Ta xét hai trường hợp sau

·       Nếu x là số chẵn thì \({2^x} - 1\) chia hết cho 3 và \({3^x} + {7^y} + 1 - {2^x}\;\)chia 3 dư 1.

Khi đó, từ phương trình (1) ta có

                                           \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^x} - 1 = {3^y}}\\{{3^x} + {7^y} + 1 - {2^x} = {7^y}}\end{array}} \right.\)

           Suy ra \({2^x} = {3^y} + 1\) ,Chi ý là \({3^y} \equiv 1,3\) (mod 8) nên \({3^y} + 1\)  không chia hết cho 8. Từ đó \(x = 2\;v\`a \;y = 1\). . Vậy (x, y) = (2, 1)

·        Nếu x là số lẻ thì \({2^x} - 1\)  chia 3 dư 1 và \({3^x} + {7^y} + 1 - {2^x}\;\)chia hết cho 3.

                 Khi đó, từ phương trình (1) ta có  

                                                           \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^x} - 1 = {7^y}}\\{{3^x} + {7^y} + 1 - {2^x} = {3^y}}\end{array}} \right.\) 

           Suy ra \({2^x} = {7^y} + 1\).  Về phải chia 7 dư 1 nên về trái chia 7 dư 1. Từ đó \(x = 3k,k \in N\)* và thay vào phương trình được

                                          \(\left( {{2^k} - 1} \right)\left( {{2^{2k}} + {2^k} + 1} \right) = {7^y}\)

            Vì UCLN \(\left( {{2^k} - 1;{2^{2k}} + {2^k} + 1} \right) \in \left\{ {1,3} \right\}\) nên UCLN\(\left( {{2^k} - 1;{2^{2k}} + {2^k} + 1} \right) = 1.\;\)Vì \({2^{2k}} + {2^k} + 1 > 1\;\)nên \({2^k} - 1 = 1\) suy ra \(k = 1\)và \({7^y} = 7\) nên \(y = 1\) và \(x = 3k = 3\). Vậy \(\left( {x,y} \right) = \left( {3,1} \right).\)

            Vậy tất cả các cặp số (x, y) thỏa mãn là (2, 1), (3, 1) .

Cách 2. Phương trình đã cho có thể viết lại thành

                                       \(\left( {{2^x} - {7^y} - 1} \right)\left( {{2^x} - {3^y} - 1} \right) = 0\)

            Tới đây giải giống hai trường hợp ở trên.

2) Ta có \(3\left( {{x^{14}} - {x^6} + 3} \right) = \left( {3{x^{14}} + 4} \right) - 3{x^6} + 5 \ge 7{x^6} - 3{x^6} + 5 = 4{x^6} + 5\)

theo bất đẳng thức AM-GM. Lại có cũng theo bất đẳng thức AM-GM, thì

           \(4{x^6} + 5 = \left( {{x^6} + {x^6} + 1} \right) + \left( {{x^6} + {x^6} + 1} \right) + 3 \ge 3\left( {{x^4} + {x^4} + 1} \right) \ge 3\left( {{x^4} + 2{x^2}} \right)\)

             Suy ra

                         \(M \ge \sum \frac{{{x^4}}}{{{x^2}{y^2} + xz + yz}} + 2\sum \frac{{{x^2}}}{{{x^2}{y^2} + xz + yz}}\)

             và áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu cho về trái, ta có

                   \(M \ge \frac{{{{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}^2} + 2{{(x + y + z)}^2}}}{{{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2} + 2\left( {xy + yz + zx} \right)}} \ge \frac{{3\left( {{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2}} \right) + 6\left( {xy + yz + zx} \right)}}{{{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2} + 2\left( {xy + yz + zx} \right)}} = 3\)

           Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 Giá trị nhỏ nhất của M là 3.