1. Một đội công nhân phải trồng \(96\) cây xanh. Đội dự định chia đều số cây cho mỗi công

1) Gọi số công nhân lúc đầu của đội là \(x\) (người). ĐK: \(x > 4,x \in \mathbb{N}\)

Số công nhân làm việc thực tế là \(x - 4\) (người)

Số cây xanh mỗi công nhân trồng theo dự định là \(\frac{{96}}{x}\) (cây)

Số cây xanh mỗi công nhân trồng theo dự định là \(\frac{{96}}{{x - 4}}\) (cây)

Ta có phương trình \(\frac{{96}}{{x - 4}} - \frac{{96}}{x} = 4\)

\( \Rightarrow 96x - 96\left( {x - 4} \right) = 4x\left( {x - 4} \right)\)

\( \Leftrightarrow 96x - 96x + 384 = 4{x^2} - 16x\)

\( \Leftrightarrow 4{x^2} - 16x - 384 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 96 = 0\)

\(\Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - \left( { - 96} \right) = 100\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = 2 + \sqrt {100}  = 12\) (thỏa mãn), \({x_1} = 2 - \sqrt {100}  =  - 8\) (loại)

Vậy số công nhân lúc đầu của đội là \(12\) (người).

2) Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) là:

\({x^2} = 3x + m \Leftrightarrow {x^2} - 3x - m = 0\)   (*)

\(\Delta  = 9 + 4m\)

Để \(\left( P \right)\) cắt \(\left( d \right)\) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt:

\(\Delta  > 0 \Leftrightarrow 9 + 4m > 0 \Leftrightarrow m > \frac{{ - 9}}{4}\)

Theo hệ thức Vi-ét: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3\,\,(1)\\{x_1}{x_2} =  - m\,\,(2)\end{array} \right.\)

Theo đề \({x_1} + 2{x_2} = m + 3\)  (3)

Từ (1), (3) suy ra \(3 + {x_2} = m + 3 \Leftrightarrow {x_2} = m \Rightarrow {x_1} = 3 - m\)

Thay vào (2) ta có \[m\left( {3 - m} \right) =  - m\] \[ \Leftrightarrow m\left( {4 - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\4 - m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 4\end{array} \right.\]

Vậy \[m = 0\] hoặc \[m = 4\].