1. Gọi \({x_1}\) và \({x_2}\) là hai nghiệm của phương trình

         1. \({x^2} + x - 10 = 0\)

         Vì \(a.c = \,1.\left( { - 10} \right)\, = \, - 10 < 0\) nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1};\,{x_2}\).

         Theo định lý Vi – ét, ta có:

         \(\left\{ \begin{array}{l}S\, = \,{x_1}\, + \,{x_2}\, = \,\frac{{ - b}}{a}\, = \, - 1\\P\, = \,{x_1}{x_2}\, = \,\frac{c}{a}\, = \, - 10\end{array} \right.\)

         Ta có: \(A\, = \,x_1^2\, + \,x_2^2\, - 3{x_1}{x_2} = \,{S^2}\, - 2P\, - 3P\, = \,{S^2} - 5P\, = \,{\left( { - 1} \right)^2} - 5.\left( { - 10} \right) = 51\)

         2. \({x^2} + \,\left( {m + 1} \right)x + \frac{1}{4}{m^2} + 1\, = 0\)

            \(\Delta \, = \,{\left( {m + 1} \right)^2}\, - 4.1.\left( {\frac{1}{4}{m^2} + 1} \right)\, = \,2m - 3\)

            Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta  > 0 \Leftrightarrow 2m\, - 3 > \,0 \Leftrightarrow m\, > \frac{3}{2}\).

            Vậy \(m\, > \,\frac{3}{2}\) thỏa yêu cầu bài toán.