1. Giải phương trình  {x^2} + x + 4 -( {2 + x} . căn bậc hai {{x^2} - x + 4}  = 0.\)

1.Phương trình \({x^2} + x + 4 - \left( {2 + x} \right)\sqrt {{x^2} - x + 4}  = 0.\,\,\,\left( 1 \right)\)

TXĐ: \(\mathbb{R}.\)

Đặt \[t = \sqrt {{x^2} - x + 4} \,\,\,\left( {t \ge 0} \right)\], khi đó phương trình (1) trở thành

       \({t^2} - \left( {2 + x} \right)t + 2x = 0\) (2) 

\( \Leftrightarrow \left( {t - 2} \right)\left( {t - x} \right) = 0\). 

Với \({t_1} = 2 \Rightarrow \sqrt {{x^2} - x + 4}  = 2 \Leftrightarrow {x^2} - x = 0 \Leftrightarrow x = 0;x = 1.\)

Với \[{t_2} = x \Rightarrow \sqrt {{x^2} - x + 4}  = x \Rightarrow  - x + 4 = 0 \Rightarrow x = 4.\]

Thử lại, ta đi tới kết luận \(S = \left\{ {0;1;4} \right\}.\)

2.Điều kiện: \[\left\{ \begin{array}{l}2xy + x - 4y - 2 \ge 0\\x - 2 \ge 0;2y + 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\y \ge  - \frac{1}{2}\end{array} \right.\]

Phương trình

       \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,x - 2 - 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {2y + 1} \right)}  + 2y + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {x - 2}  - \sqrt {2y + 1} } \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \sqrt {x - 2}  = \sqrt {2y + 1} .\end{array}\)

Khi đó ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 2}  = \sqrt {2y + 1} \\\sqrt {x - 2}  + 3\sqrt {2y + 1}  = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 2}  = 1\\\sqrt {2y + 1}  = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 0\end{array} \right.\)  (thỏa mãn)

Suy ra hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;0} \right).\)