1) Giải phương trình (x-2) (x+1 ) ( x+ 3) ( x+ 6 ) + 56 =0

1) Cách 1: Viết lại phương trình thành

\[\left( {x - 2} \right)\left( {x + 6} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right) + 56 = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 4x - 12} \right)\left( {{x^2} + 4x + 3} \right) + 56 = 0\].

Đặt \[t = {x^2} + 4x - 12\], ta có

\[t\left( {t + 15} \right) + 56 = 0 \Leftrightarrow {t^2} + 15t + 56 = 0\].

Ta có \(\Delta = {15^2} - 4.1.56 = 1\)

Do đó phương trình trên có nghiệm \[\left[ \begin{array}{l}t = - 7\\t = - 8\end{array} \right.\].

Với \[t = - 7\] thì \[{x^2} + 4x - 12 = - 7 \Leftrightarrow {x^2} + 4x - 5 = 0\]. Giải tương tự trên, ta được \[\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 5\end{array} \right.\].

Với \[t = - 8\] thì \[{x^2} + 4x - 12 = - 8 \Leftrightarrow {x^2} + 4x - 4 = 0\]. Giải tương tự trên, ta được \[\left[ \begin{array}{l}x = - 2 + 2\sqrt 2 \\x = - 2 - 2\sqrt 2 \end{array} \right.\].

Tập nghiệm của phương trình là \[S = \left\{ {1;\, - 5;\, - 2 + 2\sqrt 2 ;\, - 2 - 2\sqrt 2 } \right\}\].

Cách 2: Khai triển và thu gọn, ta được

\[{x^4} + 8{x^3} + 7{x^2} - 36x + 20 = 0\].

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^4} - {x^3} + 9{x^3} - 9{x^2} + 16{x^2} - 16x - 20x + 20 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^3} + 9{x^2} + 16x - 20} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^3} + 5{x^2} + 4{x^2} + 20x - 4x - 20} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 5} \right)\left( {{x^2} + 4x - 4} \right) = 0\end{array}\].

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x + 5 = 0\\{x^2} + 4x - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 5\\{\left( {x + 2} \right)^2} = 8\end{array} \right.\].

Tập nghiệm của phương trình là \[S = \left\{ {1;\, - 5;\, - 2 + 2\sqrt 2 ;\, - 2 - 2\sqrt 2 } \right\}\].

2) Cách 1:

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}S = x + y\\P = xy\end{array} \right.\]. Hệ phương trình trở thành \[\left\{ \begin{array}{l}{S^2} - 2P = 5\\S + P = 5\end{array} \right.\].

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{S^2} - 2\left( {5 - S} \right) = 5\\P = 5 - S\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{S^2} + 2S - 15 = 0 & \left( * \right)\\P = 5 - S\end{array} \right.\].

Phương trình (*) có \(\Delta ' = {1^2} + 1.15 = 16\) nên \[\left[ \begin{array}{l}S = - 5,\,\,P = 10\\S = 3,\,\,P = 2\end{array} \right.\].

Với \[\left\{ \begin{array}{l}S = - 5\\P = 10\end{array} \right.\] thì \[x,\,\,y\] là hai nghiệm của phương trình

\[{X^2} + 5X + 10 = 0\] (phương trình vô nghiệm).

Với \[\left\{ \begin{array}{l}S = 3\\P = 2\end{array} \right.\] thì \[x,\,\,y\] là hai nghiệm của phương trình

\[{X^2} - 3X + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}X = 1\\X = 2\end{array} \right.\] (vì \(a + b + c = 1 - 3 + 2 = 0\)).

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là \[\left( {1;\,\,2} \right)\] và \[\left( {2;\,\,1} \right)\].

Cách 2:

Từ phương trình sau suy ra \[x \ne - 1,y \ne - 1\] và \[y = \frac{{5 - x}}{{x + 1}}\].

Thế vào phương trình đầu, ta được \[{x^2} + {\left( {\frac{{5 - x}}{{x + 1}}} \right)^2} = 5\].

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2}{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {5 - x} \right)^2} = 5{\left( {x + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^4} + 2{x^3} - 3{x^2} - 20x + 20 = 0\end{array}\].

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{x^4} - 2{x^3} + 2{x^2}} \right) + \left( {5{x^3} - 15{x^2} + 10x} \right) + \left( {10{x^2} - 30x + 20} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\left( {{x^2} + 5x + 10} \right) = 0\end{array}\].

\[ \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0\] (vì  với mọi \[x\]).

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow y = 2\\x = 2 \Rightarrow y = 1\end{array} \right.\].