1. Giải phương trình (x-1) căn bậc hai x^2 + 6x+16 = 2x^2 -6x+4
1) \((x - 1)\sqrt {{x^2} + 6x + 16} = 2{x^2} - 6x + 4 \Leftrightarrow (x - 1)\sqrt {{x^2} + 6x + 16} = (x - 1)(2x - 4)\)
\( \Leftrightarrow (x - 1)(\sqrt {{x^2} + 6x + 16} - 2x + 4) = 0\)+) \(x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
+)\(\sqrt {{x^2} + 6x + 16} = 2x - 4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 4 \ge 0\\{x^2} + 6x + 16 = {(2x - 4)^2}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\3{x^2} - 22x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\\left[ \begin{array}{l}x = 0(l)\\x = \frac{{22}}{3}(tm)\end{array} \right.\end{array} \right.\)Phương trình đã cho có hai nghiệm \(x = 1;x = \frac{{22}}{3}\)
2) Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}3({x^2} + y) + 7 \ge 0\\5{x^2} + 5y + 14 \ge 0\end{array} \right.\)
Phương trình \((1)\) tương đương với
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,2{x^3} + 2x{y^2} - {x^2}y + 2{x^2} + 6x = xy + {y^3} + 3y\\ \Leftrightarrow (2{x^3} - {x^2}y) + (2x{y^2} - {y^3}) + (2{x^2} - xy) + (6x - 3y) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}(2x - y) + {y^2}(2x - y) + x(2x - y) + 3(2x - y) = 0\\ \Leftrightarrow (2x - y)({x^2} + {y^2} + x + 3) = 0\end{array}\)
\( \Leftrightarrow (2x - y){\rm{[}}{(x + \frac{1}{2})^2} + {y^2} + \frac{{11}}{4}{\rm{]}} = 0\,\)
\( \Leftrightarrow 2x - y = 0 \Leftrightarrow y = 2x\)
Thay \(y = 2x\) vào phương trình \((2)\) ta được
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\sqrt {3{x^2} + 6x + 7} + \sqrt {5{x^2} + 10x + 14} = 4 - 2x - {x^2}\\ \Leftrightarrow (\sqrt {3{x^2} + 6x + 7} - 2) + (\sqrt {5{x^2} + 10x + 14} - 3) + ({x^2} + 2x + 1) = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{3{{(x + 1)}^2}}}{{\sqrt {3{x^2} + 6x + 7} + 2}} + \frac{{5{{(x + 1)}^2}}}{{\sqrt {5{x^2} + 10x + 14} + 3}} + {(x + 1)^2} = 0\\ \Leftrightarrow {(x + 1)^2}(\frac{3}{{\sqrt {3{x^2} + 6x + 7} + 2}} + \frac{5}{{\sqrt {5{x^2} + 10x + 14} + 3}} + 1) = 0\end{array}\)
Vì \(\frac{3}{{\sqrt {3{x^2} + 6x + 7} + 2}} + \frac{5}{{\sqrt {5{x^2} + 10x + 14} + 3}} + 1 > 0\) nên phương trình tương đương với
\({(x + 1)^2} = 0 \Leftrightarrow x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1 \Rightarrow y = - 2\,\,(tm)\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm \((x;y) = ( - 1; - 2)\)