1. Giải phương trình căn bậc hai 3x -2 / x-1 - căn bậc hai 3 -x / x-1=1

1) \[\sqrt {\frac{{3x - 2}}{{x - 1}}}  - \sqrt {\frac{{3 - x}}{{x - 1}}}  = 1\]

ĐK: \(1 < x \le 3\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {3x - 2}  - \sqrt {3 - x}  = \sqrt {x - 1} \)

\( \Leftrightarrow \sqrt {3x - 2}  = \sqrt {x - 1}  + \sqrt {3 - x} \)

\( \Leftrightarrow 3x - 2 = x - 1 + 3 - x + 2\sqrt {(x - 1)(3 - x)} \)

\( \Leftrightarrow 3x - 4 = 2\sqrt {(x - 1)(3 - x)} \) (*)

(*) có điều kiện: \(3x - 4 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{4}{3}\)

(*) \( \Leftrightarrow 9{x^2} - 24x + 16 = 4(x - 1)(3 - x)\)

\( \Leftrightarrow 9{x^2} - 24x + 16 =  - 4{x^2} + 16x - 12\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 13{x^2} - 40x + 28 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2(n)\\x = \frac{{14}}{{13}}(l)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình: \(x = 2\).

2)

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^3} + xy = 2x + 4y - 1\\xy + x + 2y = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^3} + xy = 2(1 - xy) - 1\\x + 2y = 1 - xy\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^3} + 3xy = 1(1)\\x + 2y = 1 - xy(2)\end{array} \right.\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {(x + y)^3} - 3{x^2}y - 3x{y^2} + 3xy - 1 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^3} - {1^3} - 3xy(x + y - 1) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + y - 1} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} + x + y + 1 - 3xy} \right]\\ \Leftrightarrow \left( {x + y - 1} \right)\left( {{x^2} + {y^2} - xy + x + y + 1} \right) = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + y - 1 = 0\\{x^2} + {y^2} - xy + x + y + 1 = 0\end{array} \right.\)

Với \(x + y - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 - y\) thay vào (2) ta được:

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \)\(1 - y + 2y = 1 - (1 - y)y\)\( \Leftrightarrow y\left( {y - 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0 \Rightarrow x = 1\\y = 2 \Rightarrow x =  - 1\end{array} \right.\)

Với : \({x^2} + {y^2} - xy + x + y + 1 = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} + 2{y^2} - 2xy + 2x + 2y + 2 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) + \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + \left( {{y^2} + 2y + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = 0\\x + 1 = 0\\y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y =  - 1\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \((1;0),(2; - 1),( - 1; - 1)\).