1) Giải phương trình 2x + 1 + 2 căn bậc hai 4x^2 + 6x = 4 căn bậc hai 5x - x^2

1) Điều kiện: \(0 \le x < 5\;\) . Ta biến đổi phương trình thành

                                \(x + 2\sqrt x \sqrt {4x + 6}  + 4x + 6 = 4x + 4\sqrt x \sqrt {5 - x}  + 5 - x\)

              Sử dụng hằng đẳng thức, ta thu được

                                \({(\sqrt x  + \sqrt {4x + 6} )^2} = {(2\sqrt x  + \sqrt {5 - x} )^2}\)

              Suy ra \(\sqrt x  + \sqrt {4x + 6}  = 2\sqrt x  + \sqrt {5 - x} \) (do từng vế đều không âm), hay

                                                \(\sqrt {4x + 6}  = \sqrt x  + \sqrt {5 - x} \)

             Bình phương hai vế của phương trình này ta có

                                       \(4x + 6 = x + 5 - x + 2\sqrt {x\left( {5 - x} \right)} \)

             Hay \(4x + 1 = 2\sqrt {x\left( {5 - x} \right)} \).  Tiếp tục hay Tiếp tục ta bình phương hai vế với điều kiện \(4x + 1 \ge 0\;\) (đã thoả mãn được )

                                        \(16{x^2} + 8x + 1 = 4x\left( {5 - x} \right)\)

            Giải phương trình trên ta thu được \(x = \frac{1}{2}\;v\`a \;x = \frac{1}{{10}}\;\) (đều thoả mãn điều kiện).

            Vậy, phương trình đã cho có đúng hai nghiệm \(x = \frac{1}{2}\;,\;x = \frac{1}{{10}}\;\)

2) Đặt \(S = x + y,\;P = xy\) . Ta có

                                     \({x^3} + {y^3} = {(x + y)^3} - 3xy\left( {x + y} \right) = {S^3} - 3SP\)

             Khi đó hệ phương trình trở thành

                          \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{SP = 30}\\{{S^3} - 3SP = 30 + \sqrt[3]{{S + 120}}}\end{array}} \right.\)

             Thay SP = 30 vào phương trình thứ hai ta có

                                    \({S^3} = 120 + \sqrt[3]{{S + 120}}\)

             hay \({S^3} + S = \left( {S + 120} \right) + \sqrt[3]{{S + 120}}\) Ta nhận thấy

Nếu \(S > \sqrt[3]{{S + 120}}\)  thì\(\;{S^3} > S + 120\) , suy ra

                                            \({S^3} + S > \left( {S + 120} \right) + \sqrt[3]{{S + 120}}\)     

                   loại.

Nếu \(S < \sqrt[3]{{S + 120}}\)  thì\(\;{S^3} < S + 120\)  suy ra

                                            \({S^3} + S < \left( {S + 120} \right) + \sqrt[3]{{S + 120}}\)     

                  loại.

          Như vậy ta có \(S = \sqrt[3]{{S + 120}},\;hay\;{S^3} - S - 120{\rm{\;}}\;\)      Giải phương trình ta thu được S = 5 khi đó \(P = \;\frac{{30}}{S} = 6\). Vậy ta có

                                                          \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 5}\\{xy = 6}\end{array}} \right.\)

           Theo Vi-ét đảo thì x,y là hai nghiệm của phương trình

                                      \({x^2} - 5x + 6 = 0\)

           Giải phương trình ta được \(\left( {x,y} \right) = \left( {2,3} \right),\left( {3,2} \right).\)

           Vậy hệ đã cho có hai nghiệm (x,y) là \(\left( {2,3} \right)\) và \(\left( {3,2} \right)\)