1) Giải hệ phương trình căn bậc hai 4x^2 + 3 - 2 căn bậc hai y = căn bậc hai y^2 + 3 - 2 căn bậc hai 2x

1)Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 3\\y \ge 0\\y + 3 - {x^2} \ge 0\end{array} \right.\).

Phương trình (1) trở thành \(\sqrt {4{x^2} + 3}  - \sqrt {{y^2} + 3}  + 2\sqrt {2x}  - 2\sqrt y  = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {\sqrt {2x}  - \sqrt y } \right)\left[ {\frac{{\left( {\sqrt {2x}  + \sqrt y } \right)\left( {2x + y} \right)}}{{\sqrt {4{x^2} + 3}  + \sqrt {{y^2} + 3} }} + 2} \right] = 0 \Leftrightarrow y = 2x\).

Thay vào phương trình (2) ta được

\(\sqrt {x + 1}  + \sqrt {3 - x}  = 2 + \sqrt {2x + 3 - {x^2}} \)

Đặt \(t = \sqrt {x + 1}  + \sqrt {3 - x}  \Rightarrow \sqrt {2x + 3 - {x^2}}  = \frac{{{t^2} - 4}}{2}\)

Khi đó \(t = 2 + \frac{{{t^2} - 4}}{2} \Leftrightarrow {t^2} - 2t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 2\end{array} \right.\)

Với \(t = 0\) ta được \(\sqrt {x + 1}  + \sqrt {3 - x}  = 0\left( {vn} \right)\). 

Với \(t = 2\) ta được \(\sqrt {x + 1}  + \sqrt {3 - x}  = 2 \Leftrightarrow \sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {3 - x} \right)}  = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\,\left( l \right)\\x = 3\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\).

Với \(x = 3 \Rightarrow y = 6\). \(P = \left( {2x + 2x + \frac{2}{{{x^2}}}} \right) + \left( {\frac{1}{x} + \frac{6}{y}} \right) + \left( {y + \frac{{36}}{y}} \right) + 2\sqrt {xy}  \ge 3.2 + 2 + 2.6 + 2\sqrt 6 \)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;6} \right)\).      

2)Ta có \(P = 4x + \frac{2}{{{x^2}}} + \frac{1}{x} + y + \frac{{42}}{y} + 2\sqrt {xy} \)  

Do \(x > 0,y > 0\) và \(6x + y = 2xy\) nên \(\frac{1}{x} + \frac{6}{y} = 2\)

Mặt khác ta có \(2xy = 6x + y \ge 2\sqrt {6xy}  \Rightarrow \sqrt {xy}  \ge \sqrt 6 \)

Khi đó   

\( \Rightarrow P \ge 20 + 2\sqrt 6 \).

Dấu bằng xảy ra khi \(x = 1,y = 6\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\) là \(20 + 2\sqrt 6 \).