1) Giải các phương trình sau: a) tan x = √ 3 . b) sin 2 x − cos x = 0 .

1) Giải các phương trình sau:

a) \(\tan x = \sqrt 3 \).

Ta có:  \(\tan x = \sqrt 3  \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

b) \(\sin 2x - \cos x = 0\).

Cách 1:

\[\sin 2x - \cos x = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = \cos x \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) = \cos x\].

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} - 2x + k2\pi \\x = 2x - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ - x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{2} - k2\pi \end{array} \right.\], \[k \in \mathbb{Z}\].

Cách 2:

\[\sin 2x - \cos x = 0 \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\cos x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \frac{1}{2}\\\cos x = 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\], \[k \in \mathbb{Z}\].

2) Cho góc \(a\) thỏa mãn \(\sin a = \frac{1}{3}\) và \[\frac{\pi }{2} < a < \pi \]. Tính \(\cos a\)và \(\tan 2a\).

Ta có: \({\cos ^2}a = 1 - {\sin ^2}a = \frac{8}{9}\). Vì \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \) nên \(\cos a < 0\). Do đó \(\cos a =  - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

Suy ra \(\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} =  - \frac{{\sqrt 2 }}{4} \Rightarrow \tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}} =  - \frac{{4\sqrt 2 }}{7}\).