(1 điểm) Tìm tất cả các giá trị thực của a để phương trình x^4 + 2( 2a + 1)x^2 -3a = 0 có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng.

Đặt t = x 2 ( t ≥ 0 )

Phương trình đã cho trở thành t 2 + 2 ( 2 a + 1 ) x 2 − 3 a = 0             ( ∗ )

Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi phương trình ( ∗ ) có hai nghiệm dương phân biệt.

⇔ { Δ ′ > 0 − 2 ( 2 a + 1 ) > 0 − 3 a > 0 ⇔ { ( 2 a + 1 ) 2 + 3 a > 0 2 a + 1 < 0 a < 0 ⇔ { 4 a 2 + 7 a + 1 > 0 a < − 1 2 a < 0

⇔ { [ a < − 7 − 3 3 8 a > − 7 + 3 3 8 a < − 1 2 a < 0 ⇔ − 7 − 3 3 8 < a < − 1 2

Phương trình trùng phương đã cho có hai cặp nghiệm đối nhau lập thành một cấp số cộng.

Giả sử một nghiệm là m ⇒ ba nghiệm còn lại lần lượt là − m ; − 3 m ; 3 m .

Suy ra phương trình ( ∗ ) có hai nghiệm phân biệt m 2 và 9 m 2 .

Theo Vi-et ta có: { m 2 + 9 m 2 = − 2 ( 2 a + 1 ) m 2 . 9 m 2 = − 3 a ⇔ { m 2 = − 2 a + 1 5 m 4 = − a 3 .

⇒ ( − 2 a + 1 5 ) 2 = − a 3 ⇔ 1 2 a 2 + 3 7 a + 3 = 0 ⇔ [ a = − 1 1 2 a = − 3 .

So với điều kiện ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn.