1) Để đo chiều cao một cái cây một nhóm bạn lớp 8 đã cắm một chiếc cọc KD trên mặt đất và tiến hành đồ đạc

1)Theo đề bài, cây và cột cùng vuông góc hay \(AB \bot AC\,;\,\,KD \bot DE\)

Suy ra \(\widehat {BAC} = \widehat {KDE} = 90^\circ .\)

Xét \[\Delta ABC\] và \[\Delta DKE\] có:

\(\widehat {BAC} = \widehat {KDE} = 90^\circ \) (cmt); \(\widehat {BCA} = \widehat {DEK}\) (gt)

Do đó  (g.g)

Suy ra \(\frac{{AB}}{{KD}} = \frac{{AC}}{{DE}}\), thay số ta có \(\frac{{AB}}{2} = \frac{{10,5}}{{1,5}}\) nên \(AB = \frac{{2 \cdot 10,5}}{{1,5}} = 14\,\,{\rm{(m)}}\).

Vậy chiều cao của cây là 14 mét.

Cho tam giác ABC nhọn có \[\widehat {BAC} = 65^\circ \], AK và BH là các đường cao (K thuộc cạnh BC, H thuộc cạnh AC).

a) Chứng minh và \[CH \cdot CA = CK \cdot CB.\] 

b) Chứng minh và tính số đo của góc CKH.

c) Kẻ đường phân giác của góc ACB cắt KH tại D và cắt \[AB\] tại I. Chứng minh rằng: \[DH \cdot IA = DK \cdot IB.\]

 a) Chứng minh (g.g)

Suy ra \[\frac{{CK}}{{CH}} = \frac{{CA}}{{CB}}\], do đó \[CK \cdot CB = CH \cdot CA\].

 b) Ta có \[CK \cdot CB = CH \cdot CA\] (câu a) suy ra \(\frac{{CH}}{{CB}} = \frac{{CK}}{{CA}}\).

Chứng minh (c.g.c).

Suy ra \(\widehat {CKH} = \widehat {BAC} = 65^\circ \).

 c) Áp dụng tính chấtđường phân giác trong \(\Delta CHK\), ta có

\(\frac{{DK}}{{DH}} = \frac{{CK}}{{CH}}\) và \(\frac{{IA}}{{IB}} = \frac{{AC}}{{CB}}\).

Mà \(\frac{{CK}}{{CH}} = \frac{{CA}}{{CB}}\) (câu a) suy ra \(\frac{{DK}}{{DH}} = \frac{{IA}}{{IB}}\,.\) Do đó \[DH \cdot IA = DK \cdot IB.\]