1) Chứng minh rằng tích của bốn số nguyên liên tiếp cộng với 1 là bình phương của một số nguyên.

1) Gọi 4 số nguyên liên tiếp bất kỳ là a, a + 1 , a + 2 a + 3 với a in mathbb Z Ta có các biến đổi:

  \(a\left( {a + 1} \right)\left( {a + 2} \right)\left( {a + 3} \right) + 1 = \left( {{a^2} + 3a} \right)\left( {{a^2} + 3a + 2} \right) + 1\)

                                                                 \( = {({a^2} + 3a)^2} + 2\left( {{a^2} + 3a} \right) + 1\)

                                                                 \( = {({a^2} + 3a + 1)^2}\)        

     Vì\(\;\;\;{({a^2} + 3a + 1)^2}\) là một số chính phương nên bài toán được chứng minh.

2) Bằng các phép biến đổi ta được hệ phương trình sau

           \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2xy - x = 10}\\{x + y + xy = 12}\end{array} \Leftrightarrow } \right.\)     \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\left( {2y - 1} \right) = 10}\\{\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = 12}\end{array}\;\;\;\;\;\left( 1 \right)} \right.\)

    Vì 2, y nguyên nên x , 2y - 1 nguyên do đó 2y - 1 là ước lẻ của 10. Ta xét các trường hợp sau.

·        2y - 1 = 1 suy ra y = 1 và x = 10 thay vào (1) không thỏa mãn.

·        2y - 1 = - 1 suy ra y = 0 và x = - 10 thay vào (1) ta thấy không thỏa mãn.

·        2y - 1 = 5 suy ra y = 3 và x = 2 thay vào (1) ta thấy thỏa mãn.

·        2y - 1 = - 5 suy ra y = - 2 và x = - 2 thay vào (1) ta thấy không thỏa mãn.

        Vậy cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn duy nhất là (x, y) = (2, 3) .