1) Cho tam giác ABC trung tuyến AD. Vẽ tia phân giác của góc ADB cắt AB tại M, tia phân giác của góc ADC cắt AC tại N. Chứng minh rằng: a) MB/MA = BD/AD b) MN song song BC

11/11

1) Cho \(\Delta ABC\) trung tuyến \(AD.\) Vẽ tia phân giác của \[\widehat {ADB}\] cắt \(AB\) tại \(M,\) tia phân giác của \[\widehat {ADC}\] cắt \(AC\) tại \(N.\) Chứng minh rằng:

a) \[\frac{{MB}}{{MA}} = \frac{{BD}}{{AD}}.\] b) \(MN\,{\rm{//}}\,BC.\)

2) Cho tam giác \(ABC\) có \(AB < AC.\) Tia phân giác \(\widehat {BAC}\) cắt cạnh \(BC\) tại điểm \(D.\) Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC.\) Qua điểm \(M\) kẻ đường thẳng song song với đường thẳng \(AD\) cắt các đường thẳng \(AC,\,\,AB\) lần lượt tại \(E\) và \(K.\) Chứng minh rằng:

a) Tam giác \(AEK\) cân. b) \(BK = EC.\)

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Hướng dẫn giải

1) Cho tam giác ABC trung tuyến AD. Vẽ tia phân giác của góc ADB cắt AB tại M, tia phân giác của góc ADC cắt AC tại N. Chứng minh rằng: a) MB/MA = BD/AD b) MN song song BC (ảnh 1)

a) Xét \(\Delta ABD\) có \(DM\) là đường phân giác của \[\widehat {ADB}\] nên \[\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{MA}}{{MB}}\] (tính chất đường phân giác trong tam giác).

b) Xét \(\Delta ACD\) có \(DN\) là đường phân giác của \[\widehat {ADC}\] nên \[\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{NA}}{{NC}}\] (tính chất đường phân giác trong tam giác).

Mà \[\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{MA}}{{MB}}\] (câu a) và \[DB = DC\] nên \[\frac{{MB}}{{MA}} = \frac{{NC}}{{NA}}.\]

Xét \(\Delta ABC\) có: \[\frac{{MB}}{{MA}} = \frac{{NC}}{{NA}}\] (câu b) nên \[MN\,{\rm{//}}\,BC\](định lí Thalès đảo).

Tam giác \(AEK\) có \(\widehat {AKE} = \widehat {AEK}\) nên là tam giác cân tại \(A.\)

1) Cho tam giác ABC trung tuyến AD. Vẽ tia phân giác của góc ADB cắt AB tại M, tia phân giác của góc ADC cắt AC tại N. Chứng minh rằng: a) MB/MA = BD/AD b) MN song song BC (ảnh 2)

a) Vì \(AD\,{\rm{//}}\,KM\) nên \(\widehat {BAD} = \widehat {BKM}\) (đồng vị).

Vì \(AD\,{\rm{//}}\,EM\) nên \(\widehat {CAD} = \widehat {CEM}\) (đồng vị).

Mà \(AD\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) nên \(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}.\)

Do đó \(\widehat {BKM} = \widehat {CEM},\) lại có \(\widehat {CEM} = \widehat {AEK}\) nên \(\widehat {BKM} = \widehat {AEK}\) hay \(\widehat {AKE} = \widehat {AEK}.\)

b) Xét \(\Delta ACD\) có \(EM\,{\rm{//}}\,AD,\) theo định lí Thalès ta có \(\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{DM}}{{MC}}.\)

Mà \(\Delta AEK\) cân tại \(A\) nên \(AK = AE.\)

Lại có điểm \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(MB = MC.\)

Do đó \(\frac{{AK}}{{EC}} = \frac{{DM}}{{MB}}.\)

Xét \(\Delta BMK\) có \(AD\,{\rm{//}}\,KM,\) theo định lí Thalès ta có \(\frac{{DM}}{{BM}} = \frac{{AK}}{{BK}}.\)

Mà \(\frac{{AK}}{{EC}} = \frac{{DM}}{{MB}}\) nên \(\frac{{AK}}{{EC}} = \frac{{AK}}{{BK}},\) do đó \(EC = BK.\)