1) Cho tam giác ABC. Tia phân giác góc trong của góc A cắt BC tại D. Cho AB = 6, AC = x, BD = 9, BC = 21. Tìm x

1)

Ta có: \[BC = BD + DC\] nên \[DC = BC - BD = 21 - 9{\rm{ }} = 12.\]

Trong \(\Delta ABC,\) \[AD\] là phân giác của \(\widehat {BAC}\) nên \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{DC}}\) (tính chất đường phân giác của tam giác)

Hay \(\frac{6}{x} = \frac{9}{{12}}\), suy ra \(x = \frac{{6 \cdot 12}}{9} = 8.\)

2)

a) Trong \(\Delta ABC\) có các đường trung tuyến \[BD,{\rm{ }}CE\] nên \[D\] là trung điểm của \[AC,\] \[E\] là trung điểm của \[AB\] nên \[ED\] là đường trung bình của \(\Delta ABC.\)

Suy ra \(ED = \frac{1}{2}BC\) và \[ED\,{\rm{//}}\,BC\] (tính chất đường trung bình của tam giác).

b) Ta có: \[E\] là trung điểm của \[AB\] nên \(AE = EB = \frac{1}{2}AB.\)

Mà \[M\] là trung điểm của \[EB\] nên \(EM = MB = \frac{1}{2}EB = \frac{1}{4}AB\) hay \(\frac{{MB}}{{AB}} = \frac{1}{4}.\)

Tương tự, ta cũng có \(NC = \frac{1}{4}AC\) hay \(\frac{{NC}}{{AC}} = \frac{1}{4}.\)

Suy ra \(\frac{{MB}}{{AB}} = \frac{{NC}}{{AC}}\,\,\left( { = \frac{1}{4}} \right).\)

Xét \(\Delta ABC\) có \(\frac{{MB}}{{AB}} = \frac{{NC}}{{AC}}\) nên \[MN\,{\rm{//}}\,BC\] (định lí Thalès đảo).

c) Ta có \[MN\,{\rm{//}}\,BC\] (câu b) và \[ED\,{\rm{//}}\,BC\] (câu a) nên \[ED\,{\rm{//}}\,MN\,{\rm{//}}\,BC.\]

Xét \(\Delta BDE\) có \[M\] là trung điểm của \[EB\] và \[MI\,{\rm{//}}\,ED\] (do \[ED\,{\rm{//}}\,MN)\]

Suy ra \[I\] là trung điểm của \[BD\] hay \[IB = ID.\]

Khi đó \[MI\] là đường trung bình của \(\Delta BDE\) nên \(MI = \frac{1}{2}ED.\)

Tương tự, trong DCDE ta cũng có \(KN = \frac{1}{2}ED,\) trong DBCE có \(MK = \frac{1}{2}BC.\)

Ta có \(IK = MK - MI = \frac{1}{2}BC - \frac{1}{2}ED = ED - \frac{1}{2}ED = \frac{1}{2}ED\).

Do đó \(MI = IK = KN = \frac{1}{2}ED\).