1. Cho phương trình \({x^2} - 2x + m - 3 = 0\) ( \(m\) là tham số)

.1a)Giải phương trình khi \[m = 0.\]

.Khi \[m = 0\] ta có phương trình  \[{x^2} - 2x - 3 = 0\]

\[\Delta  = {\left( { - 2} \right)^2} + 12 = 16 \Rightarrow \sqrt \Delta   = 4.\]

.Phương trình có hai nghiệm phân biệt

\[{x_1} = \frac{{2 + 4}}{2} = 3,\,\,{x_2} = \frac{{2 - 4}}{2} =  - 1\]

.b)Tìm \[m\] để phương trình có hai nghiệm \[{x_1},\,\,{x_2}\] sao cho biểu thức \[P = x_1^2 + x_2^2 + {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2}\] đạt giá trị nhỏ nhất.

.Ta có \[\Delta  = {\left( { - 2} \right)^2} - 4\left( {m - 3} \right) =  - 4m + 16\]

Để phương trình có hai nghiệm thì

\[\Delta  \ge 0 \Leftrightarrow  - 4m + 16 \ge 0 \Leftrightarrow m \le 4.\]

.Theo hệ thức Viét ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = m - 3\end{array} \right.\].

Tacó

\[P = x_1^2 + x_2^2 + {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} = {2^2} - 2\left( {m - 3} \right) + {\left( {m - 3} \right)^2}\]

\[P = {m^2} - 8m + 19 = {\left( {m - 4} \right)^2} + 3 \ge 3.\]

.Dấu bằng xảy ra khi \[m = 4.\] Vậy giá trị nhỏ nhất của \[P\] là \[3\] khi \[m = 4.\]

.2.Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích \[600\,{{\rm{m}}^2}\]. Biết rằng nếu tăng chiều dài \[10\,{\rm{m}}\] và giảm chiều rộng \[5\,{\rm{m}}\] thì diện tích không đổi. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn.

.Gọi chiều rộng khu vườn hình chữ nhật là \[x\,\,\left( {\rm{m}} \right),\] \[x > 5.\]

Suy ra chiều dài khu vườn là \[\frac{{600}}{x}\,\,\left( {\rm{m}} \right).\]

.Chiều dài khu vườn sau khi tăng là \[\frac{{600}}{x} + 10\,\,\left( {\rm{m}} \right).\]

Chiều rộng khu vườn sau khi giảm là \[x - 5\,\left( {\rm{m}} \right).\]

.Diện tích khu vườn sau khi tăng chiều dài \[10\,{\rm{m}}\] và giảm chiều rộng \[5\,{\rm{m}}\] thì  không đổi nên ta có phương trình

\[\left( {\frac{{600}}{x} + 10} \right)\left( {x - 5} \right) = 600.\]

.\[ \Leftrightarrow \left( {600 + 10x} \right)\left( {x - 5} \right) = 600x \Leftrightarrow 10{x^2} - 50x - 3000 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 20\\x =  - 15\,\left( {\rm{L}} \right)\end{array} \right..\]

Vậy chiều dài mảnh vườn là \[30\,\,\left( {\rm{m}} \right),\] chiều rộng mảnh vườn là \[20\,\,\left( {\rm{m}} \right).\]