1) Cho phương trình x^2 - ( 2m + 1 ) x + 4m -2 =0 (1)

1. a)Với \(m = 0\), phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \({x^2} - x - 2 = 0\) 

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 2\end{array} \right.\).

b) Ta có \(\Delta  = {\left( {2m + 1} \right)^2} - 4\left( {4m - 2} \right) = 4{m^2} - 12m + 9 = {\left( {2m - 3} \right)^2} \ge 0\,\,\forall m\).

Áp dụng Viet \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m + 1\\{x_1}{x_2} = 4m - 2\end{array} \right.\)   

Ta có \(x_1^2 + x_2^2 = 13 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 13 \Leftrightarrow {\left( {2m + 1} \right)^2} - 2\left( {4m - 2} \right) = 13 \Leftrightarrow {m^2} - m - 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 1\,\left( {tm} \right)\\m = 2\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\).

Vậy \(m =  - 1\), \(m = 2\).

2) Điều kiện: \( - 1 \le x \le 4\).

Phương trình trở thành \( \Leftrightarrow x + 1 + 2\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {4 - x} \right)}  + 4 - x = 2x + 9 \Leftrightarrow \sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {4 - x} \right)}  = x + 2\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\ - {x^2} + 3x + 4 = {x^2} + 4x + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\2{x^2} + x = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\left( {tm} \right)\\x =  - \frac{1}{2}\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\).

Vậy nghiệm của phương trình là \(x =  - \frac{1}{2}\), \(x = 0\).