1) Cho \(p\) là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh số \

1) Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ nên \({p^2} + 2\) là số lẻ ⇒\({2^{{p^2} + 2}} \equiv 2\;\left( {mod\;3} \right)\) ⇒ \({2^{{p^2} + 2}} - 8 \vdots 3\;\left( 1 \right)\)

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên \({p^2} \equiv 1\left( {mod\;3} \right)\)⇒\({p^2} + 2 \vdots 3\)⇒\({2^{{p^2} + 2}} \equiv 1\left( {mod\;7} \right)\)⇒ \({2^{{p^2} + 2}} - 8 \vdots 7\;\left( 2 \right)\).

Mà \(\left( {3,7} \right) = 1\) (3). Từ (1) (2) (3) ⇒\({2^{{p^2} + 2}} - 8 \vdots \) 21 (ĐPCM).

2) \({x^3} - {y^3} = 2{\left( {x - y} \right)^2} + 17\).

 Đặt \(x - y = a,xy = b\;\left( {{a^2} \ge  - 4b} \right)\).

Vì \(2{\left( {x - y} \right)^2} + 17 > 0\) ⇒\({x^3} - {y^3} > 0\) ⇒\(x - y > 0\) ⇒\(a > 0\).

Ta có:\({x^3} - {y^3} = 2{\left( {x - y} \right)^2} + 17\)⇒ \({a^3} + 3ab = 2{a^2} + 17\) ⇒ \(17 \vdots a\) ⇒\(a \in \left\{ {1;17} \right\}\) (do \(a > 0\))

TH1: \(a = 1\) ⇒ \(b = 6\) ⇒ \(\left( {x,y} \right) \in \left\{ {\left( {3,2} \right);\left( { - 2, - 3} \right)} \right\}\) (thử lại thoả mãn)

TH2: \(a = 17\) ⇒ \(b = \frac{{ - 254}}{3}\;\left( {{\rm{loai}}} \right)\)

   Vậy \(\left( {x,y} \right) \in \left\{ {\left( {3,2} \right);\left( { - 2, - 3} \right)} \right\}\)