1. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy dài 12 cm, chiều cao của tam giác mặt bên kẻ từ đỉnh hình chóp bằng 10 cm. Tính diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều.

Hướng dẫn giải

1. Nửa chu vi đáy của hình chóp tứ giác đều là: \(\frac{{12 \cdot 4}}{2} = 24\,\,{\rm{(cm)}}\).

Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều là: \(24 \cdot 10 = 240\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

2.

a) Xét \[{\rm{\Delta }}MNI\] và \[{\rm{\Delta }}MPK\] có:

\(\widehat {MIN} = \widehat {MKP}\,\;\left( { = 90^\circ } \right)\)

\[\widehat {NMI} = \widehat {PMK}\,\;\left( {\widehat M\;{\rm{chung}}} \right)\]

Do đó ΔMNI∽ΔMPK  (g.g)  .

Suy ra \(\frac{{NI}}{{PK}} = \frac{{MN}}{{MP}} = \frac{{MI}}{{MK}}\).

b) Xét \[{\rm{\Delta }}NHK\] và \[{\rm{\Delta }}PHI\] có:

\(\widehat {NKH} = \widehat {PIH}\;\left( { = 90^\circ } \right)\)

\(\widehat {NHK} = \widehat {PHI}\)

Do đó ΔNHK∽ΔPHI  (g.g)

Suy ra \(\frac{{NH}}{{HP}} = \frac{{HK}}{{HI}}\) hay \(HN \cdot HI = HK \cdot HP\) (đpcm)

c) Ta có:

\[NI \cdot NH + PK \cdot PH = NH \cdot \left( {NH + HI} \right) + PK \cdot PH\]

\[ = N{H^2} + NH \cdot HI + PK \cdot PH\]

\[ = N{H^2} + HK \cdot HP + PK \cdot PH\]

\[ = N{K^2} + H{K^2} + HK \cdot HP + HP \cdot \left( {HK + HP} \right)\]

\[ = N{K^2} + H{K^2} + HK \cdot HP + HP \cdot HK + H{P^2}\]

\[ = N{K^2} + \left( {H{K^2} + 2HK \cdot HP + H{P^2}} \right)\]

\[ = N{K^2} + {\left( {HK + HP} \right)^2}\]\[ = N{K^2} + P{K^2} = N{P^2}\] (theo định lí Pythagore).

Vậy ta có đpcm.