1. Cho (f(x) = {x^2} - 3x - 5\) có hai nghiệm là
1. Cho \(f(x) = {x^2} - 3x - 5\) có hai nghiệm là \({x_1},{x_2}.\) Đặt \(g(x) = {x^2} - 4.\) Tính giá trị của \(T = g\left( {{x_1}} \right).g\left( {{x_2}} \right)\).
Vì \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của \(f(x) = {x^2} - 3x - 5\) nên ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x_1^2 - 3{x_1} - 5 = 0}\\{x_2^2 - 3{x_2} - 5 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x_1^2 = 3{x_1} + 5}\\{x_2^2 = 3{x_2} + 5}\end{array}} \right.} \right.\).
Theo định lý Vi-et ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 3}\\{{x_1}{x_2} = - 5}\end{array}} \right.\) nên:
\(T = g\left( {{x_1}} \right).g\left( {{x_2}} \right)\)
\(T = \left( {x_1^2 - 4} \right)\left( {x_2^2 - 4} \right)\)
\(T = \left( {3{x_1} + 5 - 4} \right)\left( {3{x_2} + 5 - 4} \right)\)
\(T = \left( {3{x_1} + 1} \right)\left( {3{x_2} + 1} \right)\)
\(T = 9{x_1}{x_2} + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1\)
\(T = 9 \cdot ( - 5) + 3.3 + 1\)
\(T = - 35\)
Vậy \(T = - 35\).
2. Cho \(a,b,c\) là các số thực dương khác 0 và thỏa mãn \((a + b + c)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) = 1.\) Chứng minh rằng \(\left( {{a^3} + {b^3}} \right)\left( {{b^{25}} + {c^{25}}} \right)\left( {{c^{2021}} + {a^{2021}}} \right) = 0\).
Vì \((a + b + c)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) = 1\) nên \(a + b + c \ne 0 \Rightarrow \left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) = \frac{1}{{a + b + c}}\)
\( \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{a} - \frac{1}{{a + b + c}}} \right) + \left( {\frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{b + c}}{{a(a + b + c)}} + \frac{{b + c}}{{bc}} = 0\)
\( \Leftrightarrow (b + c)\left[ {\frac{1}{{a(a + b + c)}} + \frac{1}{{bc}}} \right] = 0\)
\( \Leftrightarrow (b + c)\left[ {\frac{{bc + {a^2} + ab + ac}}{{abc(a + b + c)}}} \right] = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{(b + c)(c + a)(a + b)}}{{abc(a + b + c)}} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - b\\b = - c\\c = - a\end{array} \right.\)
Vậy \(\left( {{a^3} + {b^3}} \right)\left( {{b^{25}} + {c^{25}}} \right)\left( {{c^{2021}} + {a^{2021}}} \right) = 0\) (đpcm).