1) Cho đa thức f( x ) = {x^4} + 2{x^3} + 3{x^2} + 2022x + 2023.\)

1) Giả sử đa thức \(f\left( x \right)\;\)có nghiệm hữu tỉ.

Gọi nghiệm của đa thức \(f\left( x \right)\) là \(\frac{a}{b}\) (\(a,b \in Z,\;\left( {a,b} \right) = 1,b \ne 0)\).

Khi đó: \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^4} + 2{\left( {\frac{a}{b}} \right)^3} + 3{\left( {\frac{a}{b}} \right)^2} + 2022\frac{a}{b} + 2023 = 0.\)

          ⇒ \({a^4} + 2{a^3}b + 3{a^2}{b^2} + 2022a{b^3} + 2023{b^4} = 0.\)

          ⇒ \({a^4} \vdots b.\)

Mà \(\left( {a,b} \right) = 1\) ⇒\(b = 1\)⇒\({a^4} + 2{a^3} + 3{a^2} + 2022a + 2023 = 0\)

                                           ⇒ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0}\\{2023 \vdots a}\end{array}} \right.\)

                                           ⇒ \(a \in \left\{ { - 1; - 2023; - 7; - 17; - 289; - 119} \right\}\)

  Thử các giá trị \(a \in \left\{ { - 1; - 2023; - 7; - 17; - 289; - 119} \right\}\) vào biểu thức \({a^4} + 2{a^3} + 3{a^2} + 2022a + 2023\) ta thấy không có một giá trị nào của a để \({a^4} + 2{a^3} + 3{a^2} + 2022a + 2023 = 0\).Như vậy không tồn tại các số nguyên a,b thoả mãn đề bài⇒Giả sử trên sai.Từ đây ta có điều phải CM.

2) Từ giả thiết ta suy ra \(ab + bc + ac =  - 1\), có A=\(\left| a \right| + \left| b \right| + \left| c \right|\;,\;\)xét \({A^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left| {ab} \right| + 2\left| {bc} \right| + 2\left| {ac} \right|\). Theo bất đẳng thức giá trị tuyêt đối , ta có :

      \({A^2} = {\left( {a + b + c} \right)^2} + 2\left( {\left| {ab} \right| + \left| {bc} \right| + \left| {ac} \right|} \right) + 2 \ge 0 + 2\left| {ab + bc + ac} \right| + 2 = 4\)

Từ đây kết hợp A\(\; \ge 0\) ⇒ A\(\; \ge \) 2.Dấu bằng xảy ra nhiều trường hợp, chẳng hạn \(\;\;\left( {a,b,c} \right) = \left( {0,1, - 1} \right)\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2.