1. Cho các số thực dương \(a,\,b,\,c\) thỏa mãn

1)Ta có \(\frac{{ab}}{c} + \frac{{bc}}{a} + \frac{{ca}}{b} = a + b + c \Leftrightarrow {\left( {ab} \right)^2} + {\left( {bc} \right)^2} + {\left( {ca} \right)^2} = abc(a + b + c)\)

\( \Leftrightarrow 2{\left( {ab} \right)^2} + 2{\left( {bc} \right)^2} + 2{\left( {ca} \right)^2} = 2ab.bc + 2bc.ca + 2ca.ab\)

\( \Leftrightarrow {\left( {ab - bc} \right)^2} + {\left( {bc - ca} \right)^2} + {\left( {ca - ab} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow a = b = c\)

2)Điều kiện \(x \ge \frac{1}{2}.\)

Ta có \(\sqrt {3x + 1}  - \sqrt {2x - 1}  = 1 \Leftrightarrow \sqrt {3x + 1}  = 1 + \sqrt {2x - 1} \)

Bình phương hai vế, rút gọn,  ta được \(2\sqrt {2x - 1}  = x + 1\)

\(2\sqrt {2x - 1}  = x + 1 \Leftrightarrow 4\left( {2x - 1} \right) = {\left( {x + 1} \right)^2} \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 5\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {1;5} \right\}\)                 

3)Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}xy \ge 0\\x,y \ge  - 1\end{array} \right.\) . Đặt  \(\left\{ \begin{array}{l}S = x + y\\P = x.y\end{array} \right.\)\(({S^2} \ge 4P)\) hệ phương trình đã cho trở thành:\(\left\{ \begin{array}{l}S - \sqrt P  = 3\\S + 2 + 2\sqrt {S + P + 1}  = 9\end{array} \right.\)

\( & \left\{ \begin{array}{l}S - \sqrt P  = 3\\S + 2 + 2\sqrt {S + P + 1}  = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S \ge 3;\\P = {\left( {S - 3} \right)^2}\\2\sqrt {S + {{\left( {S - 3} \right)}^2} + 1}  = 7 - S\end{array} \right.\)

\[\begin{array}{l}2\sqrt {S + {{\left( {S - 3} \right)}^2} + 1}  = 7 - S \Rightarrow 4\left( {{S^2} - 5S + 10} \right) = 49 - 14S + {S^2}\\ \Leftrightarrow 3{S^2} - 6S - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}S =  - 1\\S = 3\end{array} \right.\end{array}\]

Thử lại thấy \(S = 3\) thỏa mãn. Khi đó ta được \(\left\{ \begin{array}{l}S = 3\\P = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\xy = 0\end{array} \right..\)

Giải ra ta được tập nghiệm của hệ \(S = \left\{ {\left( {0;3} \right);\left( {3;0} \right)} \right\}.\)