1. Cho các số nguyên dương \(x,\,y,\,z\) thỏa mãn

1. Từ giả thiết ta có \(\left( {{x^3} - x} \right) + \left( {{y^3} - y} \right) + \left( {{z^3} - z} \right) = 17(x + y + z)\)

Tích của ba số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 6 nên \({x^3} - x = (x - 1)x(x + 1) \vdots 6\)

Tương tự \({y^3} - y \vdots 6,\,\,{z^3} - z \vdots 6 \Rightarrow \,\,\,17(x + y + z)\, \vdots 6\)

Mà 17 và 6 nguyên tố cùng nhau nên \(x + y + z\, \vdots 6\)

2. Ta có \(x + y + z\, = \,6m,\,\,\,{x^3} + {y^3} + {z^3} = 108m,\) với \(m \in {N^*}\).

Vì \(\frac{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}{3} \ge {\left( {\frac{{x + y + z}}{3}} \right)^3}\) nên \(\frac{{108m}}{3} \ge {\left( {\frac{{6m}}{3}} \right)^3} \Leftrightarrow {m^2} \le \frac{9}{2},\,\,suy\,\,ra\,m \le 2\)

Lúc này \(F = xyz \le {\left( {\frac{{x + y + z}}{3}} \right)^3} \le {\left( {\frac{{12}}{3}} \right)^3} = 64\,\,\,\,(1)\)

Từ \({x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz = \left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx} \right)\,\,\,suy\,\,ra\)

\(108m - 3F = 6m\left( {36{m^2} - 3\left( {xy + yz + zx} \right)} \right) \Leftrightarrow F = 36m - 6m\left( {12{m^2} - \left( {xy + yz + zx} \right)} \right).\)

Do đó \(F\, \vdots \,6\,\,\,\,(2)\). Từ (1) và (2) suy ra \(F \le 60\,\,(3)\).

Đẳng thức ở (3) xảy ra, chẳng hạn khi

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 12\\60 = 72 - 12\left( {48 - \left( {xy + yz + zx} \right)} \right)\\xyz = 60\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 12\\xy + yz + zx = 47\\xyz = 60\end{array} \right. \Leftrightarrow \left( {x;y;z} \right)\) là hoán vị của \(\left( {3;4;5} \right)\)

Vậy giá trị lớn nhất của F là 60, đạt được chẳng hạn khi \(\left( {x;y;z} \right)\) là hoán vị của \(\left( {3;4;5} \right)\)