(1,5 điểm) Cho tam giác A B C vuông tại A ( A B < A C ) . Kéo dài C A một đoạn sao cho A E = A B . Kẻ E K ⊥ B C ( K nằm trên đường thẳng B C ) . 1. Cho E C =

14/14

(1,5 điểm) Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) \(\left( {AB < AC} \right)\). Kéo dài \(CA\) một đoạn sao cho \(AE = AB.\) Kẻ \(EK \bot BC\,\,\)\((K\) nằm trên đường thẳng \(BC).\)

1. Cho \(EC = 16{\rm{\;cm}}\) và \(\widehat {C\,} = 30^\circ \). Tính độ dài cạnh \(EK\) và \(AB\) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

2. Giả sử \(EK\) cắt \(AB\) tại \(Q\). Chứng minh rằng \[\frac{{QE}}{{\sin \widehat {QCE}}} = \frac{{EC}}{{\sin \widehat {EQC}}} = \frac{{CQ}}{{\sin \widehat {CEQ}}}.\]

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Hướng dẫn giải

1. Xét \(\Delta KEC\) vuông tại \(K\), ta có:

(1,5 điểm) Cho tam giác A B C vuông tại A ( A B < A C ) . Kéo dài C A một đoạn sao cho A E = A B . Kẻ E K ⊥ B C ( K nằm trên đường thẳng B C ) . 1. Cho E C = 16 c m và ˆ C = 30 ∘ . Tính độ dài cạnh E K và A B (làm tròn kết quả đến hàng phần mười). 2. Giả sử E K cắt A B tại Q . Chứng minh rằng Q E sin ˆ Q C E = E C sin ˆ E Q C = C Q sin ˆ C E Q . (ảnh 1)

\(EK = EC \cdot \sin C = 16 \cdot \sin 30^\circ = 8{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Xét \(\Delta ABE\) vuông tại \(A\) có \(AE = AB\) nên \(\Delta ABE\) vuông cân tại \(A.\) Do đó \(\widehat {AEB} = 45^\circ .\)

Xét \(\Delta EBC\) có \(\widehat {EBK}\) là góc ngoài nên \(\widehat {EBK} = \widehat {AEB} + \widehat {C\,} = 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ .\)

Xét \(\Delta KEB\) vuông tại \(K\) , ta có \(\sin \widehat {EBK} = \frac{{EK}}{{EB}}\).

Suy ra \(EB = \frac{{EK}}{{\sin \widehat {EBK}}} = \frac{8}{{\sin 75^\circ }} \approx 8,3{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Xét \(\Delta ABE\) vuông tại \(A\) ta có \(AB = EB \cdot \sin \widehat {AEB} \approx 8,3 \cdot \sin 45^\circ \approx 5,9{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

2. Xét \(\Delta AEQ\) vuông tại \(A\) ta có: \(AQ = QE \cdot \sin \widehat {CEQ}.\)

Xét \(\Delta ACQ\) vuông tại \(A\) ta có: \(AQ = CQ \cdot \sin \widehat {QCE}\).

Suy ra \(QE \cdot \sin \widehat {CEQ} = CQ \cdot \sin \widehat {QCE}\)

Do đó \[\frac{{QE}}{{\sin \widehat {QCE}}} = \frac{{CQ}}{{\sin \widehat {CEQ}}}.\] (1)

Chứng minh tương tự ta có:

\(CK = CQ \cdot \sin \widehat {EQC} = EC \cdot \sin \widehat {CEQ}\)

Suy ra \[\frac{{EC}}{{\sin \widehat {EQC}}} = \frac{{CQ}}{{\sin \widehat {CEQ}}}.\] (2)

Từ (1) và (2) ta có \[\frac{{QE}}{{\sin \widehat {QCE}}} = \frac{{EC}}{{\sin \widehat {EQC}}} = \frac{{CQ}}{{\sin \widehat {CEQ}}}.\]