(1,5 điểm) Cho tam giác A B C . Gọi D và E là hai điểm trên cạnh B C sao cho ba cạnh B D = D E = E C . Vẽ đường trung tuyến A O của tam giác A B C . Trên tia đối của

5/6

(1,5 điểm) Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(D\) và \(E\) là hai điểm trên cạnh \(BC\) sao cho ba cạnh\(BD = DE = EC.\) Vẽ đường trung tuyến \(AO\) của tam giác \(ABC\). Trên tia đối của tia \(OA\) lấy điểm \(F\) sao cho \(OF = OA.\)

a) Chứng minh \(D\) là trọng tâm của tam giác \(BAF\); \(E\) là trọng tâm của tam giác \(CAF.\)

b) Tia \(AD\) cắt \(BF\) tại \(N,\) tia \(FE\) cắt \(AC\) tại \(M.\) Chứng minh ba điểm \(M,O,N\) thẳng hàng.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Hướng dẫn giải

(1,5 điểm) Cho tam giác A B C . Gọi D và E là hai điểm trên cạnh B C sao cho ba cạnh B D = D E = E C . Vẽ đường trung tuyến A O của tam giác A B C . Trên tia đối của tia O A lấy điểm F sao cho O F = O A . a) Chứng minh D là trọng tâm của tam giác B A F ; E là trọng tâm của tam giác C A F . b) Tia A D cắt B F tại N , tia F E cắt A C tại M . Chứng minh ba điểm M , O , N thẳng hàng. (ảnh 1)

Vì \(AD\) cắt \(BF\) tại \(N\) nên \(FN = BN = \frac{1}{2}BF\) (1).

Chứng minh tương tự, ta được: \(AM = MC = \frac{1}{2}AC\) (2)

Vì \(OA\) là đường tủng tuyến của tam giác \(ABC\) nên \(O\) là trung điểm của \(BC\) hay \(OB = OC\).

Xét \(\Delta OFB\) và \(\Delta OAC\) có:

\(OF = OA\) (gt)

\(\widehat {FOB} = \widehat {AOC}\) (hai góc đối đỉnh)

\(OB = OC\) (cmt)

Do đó, \(\Delta OFB = \Delta OAC\) (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {OFB} = \widehat {OAC}\) (hai góc tương ứng) và \(BF = AC\) (hai cạnh tương ứng) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(AM = FN\).

Xét \(\Delta AOM\) và \(\Delta FON\) có:

\(AM = FN\) (cmt)

\(\widehat {OFN} = \widehat {OAM}\) (cmt)

\(OF = OA\) (gt)

Do đó, \(\Delta AOM = \Delta FON\) (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {AOM} = \widehat {FON}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {AOM} + \widehat {FOM} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Suy ra \(\widehat {FON} + \widehat {FOM} = 180^\circ \).

Do đó, \(M,O,N\) thẳng hàng.