(1,5 điểm)   Cho hai biểu thức

Có \(M = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{x + 2\sqrt x  + 1}} - \frac{{\sqrt x  - 2}}{{x - 1}}\) và \(N = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}\) với \[x > 0;{\rm{ }}x \ne 1\].

a) Thay \[x = 25\] (thoả mãn ĐKXĐ) vào biểu thức \(N\), ta có \(N = \frac{{\sqrt {25}  + 1}}{{\sqrt {25} }} = \frac{6}{5}\).

Vậy với \[x = 25\] thì giá trị của biểu thức \(N = \frac{6}{5}\).

b) Ta có: \(M = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{x + 2\sqrt x  + 1}} - \frac{{\sqrt x  - 2}}{{x - 1}}\)

\[M = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}} - \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\]

\[M = \frac{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right) - \left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\]

\[M = \frac{{x + \sqrt x  - 2 - x + \sqrt x  + 2}}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\]

\[M = \frac{{2\sqrt x }}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\]

+) Có \[M = \frac{{2\sqrt x }}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\]; \(N = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}\) mà \[S = M.N\]

Nên \[S = \frac{{2\sqrt x }}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}\]\[ = \frac{2}{{x - 1}}\].

Vậy \[S = \frac{2}{{x - 1}}\] khi \[x > 0;{\rm{ }}x \ne 1\].

c) Có \[S = \frac{2}{{x - 1}}\] (\[x > 0;{\rm{ }}x \ne 1\]). Mà \[S <  - 1\] nên có \[\frac{2}{{x - 1}} <  - 1\].

Do đó: \(\frac{{2 + x - 1}}{{x - 1}} < 0\) hay \(\frac{{x + 1}}{{x - 1}} < 0\) (1)

Vì \(x > 0\) nên \(x + 1 > 0\)                   (2)

Từ (1) (2), ta có: \(x - 1 < 0\) nên \(x < 1\).

Kết hợp điều kiện xác định \[x > 0;{\rm{ }}x \ne 1\] ta có: \(0 < x < 1\).

Vậy \(0 < x < 1\) thì \(S <  - 1\).