(1,5 điểm) Cho hai biểu thức:

3/8

(1,5 điểm)

Cho hai biểu thức: \(A = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 1}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{3\sqrt x }}{{x + \sqrt x - 2}}\)với \(x \ge 0;x \ne 1\).

1). Tính giá trị của biểu thức A khi \(x = 25\).

2). Rút gọn biểu thức \(B\).

3). Cho \(P = A.B\). Hãy so sánh và \(P\) và \(\sqrt P \).

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

1). Thay\(x = 16\) (TMĐK) vào biểu thức \(A\) ta được \(A = \frac{3}{4}\) và kết luận.

2). \(B = \)\(\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} - \frac{{3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{x + 2\sqrt x + \sqrt x - 1 - 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \frac{{x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}}\)

3). Với \(x \ge 0,x \ne 1\)

\(P = A.B\)\( = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 1}}.\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 2}} = 1 + \frac{1}{{\sqrt x + 2}}\)

Vì \(\sqrt x \ge 0,\forall x \ge 0\) nên \(\sqrt x + 2 > 0\)
\( \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt x + 2}} > 0 \Rightarrow P > 1 \Rightarrow \sqrt P > 1\)\( \Rightarrow P - \sqrt P = \sqrt P (\sqrt P - 1) > 0 \Rightarrow P > \sqrt P \)