(1,5 điểm) Cho hai biểu thức

3/9

\(A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{\sqrt x - 8}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\) với \(x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9\).

1) Tính giá trị của biểu thức \[A\] khi \[x = 25\].

2) Rút gọn biểu thức B.

3) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để \(B < A\)

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

1) Với \[x = 25\] ( thỏa mãn điều kiện) suy ra \(A = \frac{{\sqrt {25} + 1}}{{\sqrt {25} - 2}} = \frac{6}{3} = 2\).

Vậy \(x = 25\) thì \(A = 2\)

2) Thu gọn biểu thức

\(B = \frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right) + \sqrt x - 8}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)

\( = \frac{{x - 4 + \sqrt x - 8}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)

\( = \frac{{x + 4\sqrt x - 3\sqrt x - 12}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 4}}{{\sqrt x - 2}}\)

Vậy \(x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9\) thì \(B = \frac{{\sqrt x + 4}}{{\sqrt x - 2}}\)

3) Ta có: \(B < A \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x + 4}}{{\sqrt x - 2}} < \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x + 4}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}} < 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{3}{{\sqrt x - 2}} < 0 \Leftrightarrow \sqrt x < 2 \Leftrightarrow x < 4\)

Kết hợp điều kiện suy ra \(0 \le x < 4\). Mà \[x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}\].

Vậy \(x \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}\) thì \(B < A\)