(1,5 điểm) Cho biểu thức
1) Thay \(x = 4\) (TMĐK) vào biểu thức \(A\) có:
\(A = \frac{{3.4 + 12}}{{\sqrt 4 + 3}} = \frac{{24}}{5}\)
Vậy \(A = \frac{{24}}{5}\) khi \(x = 4\)
2) Chứng minh\(B = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}\)
\[B = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} - \frac{{7\sqrt x + 3}}{{x - 9}}\]
\[ = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} - \frac{{7\sqrt x + 3}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\]
\[ = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right) + 2\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right) - 7\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\]
\[ = \frac{{x + 3\sqrt x + \sqrt x + 3 + 2x - 6\sqrt x - 7\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\]
\[ = \frac{{3x - 9\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\]
\[ = \frac{{3\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\]
\[ = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}\]
Vậy \(B = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}\) với \(x > 0;x \ne 9\)
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{A}{B}\)
\[P = \frac{A}{B}\]\[ = \frac{{3x + 12}}{{\sqrt x + 3}}.\frac{{\sqrt x + 3}}{{3\sqrt x }}\]\[ = \frac{{x + 4}}{{\sqrt x }}\]\[ = \sqrt x + \frac{4}{{\sqrt x }}\]
Xét bất đẳng thức Cauchy: Với hai số thực không âm a, b ta có:
\(a + b \ge 2\sqrt {ab} \). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b\)
Thật vậy: \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\)\( \Rightarrow {\left( {a + b} \right)^2} \ge 4ab\)\( \Rightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab} \)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b\)
Vì \(x \ge 0\)\( \Rightarrow \sqrt x \ge 0;\frac{4}{{\sqrt x }} > 0\) nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
\(P = \sqrt x + \frac{4}{{\sqrt x }}\) \( \ge 2\sqrt {\sqrt x .\frac{4}{{\sqrt x }}} \) \( = 4\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: \(\sqrt x = \frac{4}{{\sqrt x }}\)
\(x = 4\;\)(Thỏa mãn)
Vậy \({P_{{\rm{min}}}} = 4\) khi và chỉ khi \(x = 4\;\)