(1,5 điểm) Cho biểu thức
2/8
(1,5 điểm) Cho biểu thức\[P = \frac{{\sqrt x + 8}}{{3\sqrt x }}\] và \[Q = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{7\sqrt x + 3}}{{9 - x}}\]
với \[x \ge 0\] và \[x \ne 9\]
1) Tính giá trị của biểu thức P khi \[x = 4\]
2) Chứng minh: \[Q = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}\]
3) Tìm \[x \in \mathbb{Z}\]
để \[A \ge 2\]với \[A = P.Q\]
1) Thay \[x = 4\] (TMĐK) vào biểu thức P, ta có:
\[P = \frac{{\sqrt 4 + 8}}{{3\sqrt 4 }} = \frac{{2 + 8}}{6} = \frac{{10}}{6} = \frac{5}{3}\]
Vậy \[x = 4\] thì \[P = \frac{5}{3}\]
\[2)\] Với \[x \ge 0;x \ne 9\] Ta có
\[\begin{array}{l}Q = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{7\sqrt x + 3}}{{9 - x}}\\Q = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} - \frac{{7\sqrt x + 3}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\end{array}\]
\[Q = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right) + 2\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right) - 7\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\]
2) Ta có \[A = P.Q = \frac{{\sqrt x + 8}}{{3\sqrt x }}.\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} = \frac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}}\]
Để \[A \ge 2\]thì \[\frac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}} \ge 2\] suy ra \[\frac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}} - 2 \ge 0\] suy ra \[\frac{{ - \sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 3}} \ge 0\]
Suy ra \[ - \sqrt x + 2 \ge 0\] (Vì \[\sqrt x + 3 > 0\]\[\forall x > 0,x \ne 9\])
\[ - \sqrt x \ge - 2\] suy ra \[\sqrt x \le 2\] thì \[x \le 4\]
Kết hợp với điều kiện \[x > 0,x \ne 9\] và \[x \in \mathbb{Z}\]
Vậy \[x \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\]thì \[A \ge 2\]