(1,0 điểm) Cho tam giác $ABC$ vuông ở $A.$ Gọi $G$ là trung điểm của $BC.$ Qua $G$ kẻ $GE \bot AB$ $\left( {E \in AB} \right)$ và $GF \bot AC$ $\left( {F \in AC} \right).$ T

21/21

(1,0 điểm) Cho tam giác $ABC$ vuông ở $A.$ Gọi $G$ là trung điểm của $BC.$ Qua $G$ kẻ $GE \bot AB$ $\left( {E \in AB} \right)$ và $GF \bot AC$ $\left( {F \in AC} \right).$ Từ $E$ kẻ đường thẳng song song với $BF,$ đường thẳng này cắt $GF$ tại $I.$

a) Chứng minh tứ giác $BEIF$ là hình bình hành.

b) Tìm điều kiện của tam giác $ABC$ để tứ giác $AGCI$ là hình vuông.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$(1,0 điểm) Cho tam giác $ABC$ vuông ở $A.$ Gọi $G$ là trung điểm của $BC.$ Qua $G$ kẻ $GE \bot AB$ $\left( {E \in AB} \right)$ và $GF \bot AC$ $\left( {F \in AC} \right).$ Từ $E$ kẻ đường thẳng song song với $BF,$ đường thẳng này cắt $GF$ tại $I.$ a) Chứng minh tứ giác $BEIF$ là hình bình hành. b) Tìm điều kiện của tam giác $ABC$ để tứ giác $AGCI$ là hình vuông. (ảnh 1)$

a)Ta có $GF \bot AC$ và $AB \bot AC$ (do $\Delta ABC$ vuông tại $A)$ nên $GF\,{\rm{//}}\,AB.$

Xét tứ giác $BEIF$ có $BE\,{\rm{//}}\,FI$ (do $GF\,{\rm{//}}\,AB)$ và $EI\,{\rm{//}}\,BF.$

Do đó, tứ giác $BEIF$ là hình bình hành.

b) Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $AG$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$ nên $AG = \frac{1}{2}BC$ (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).

Mà $G$ là trung điểm của $BC$ nên $BG = CG = \frac{1}{2}BC.$

Do đó $AG = BG = CG = \frac{1}{2}BC.$

Suy ra $\Delta ABG$ và $\Delta ACG$ đều là tam giác cân tại $G.$

Xét $\Delta ABG$ cân tại $G$ có đường cao $GE$ nên đồng thời là đường trung tuyến, do đó $E$ là trung điểm của \[AB\] nên $BE = AE.$ (1)

Tương tự với $\Delta ACG$ cân tại $G$ ta cũng có $GF$ vừa là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên $F$ là trung điểm của $AC.$

Xét tứ giác $AEGF$ có:

⦁ $\widehat {EAF} = 90^\circ $ (do $\Delta ABC$ vuông tại $A);$

⦁ $\widehat {AEG} = 90^\circ $ (do $GE \bot AB);$

⦁ $\widehat {AFG} = 90^\circ $ (do $GF \bot AC)$.

Do đó tứ giác $AEGF$ là hình chữ nhật, suy ra $AE = GF$.(2)

Mà $BEIF$ là hình bình hành nên $BE = FI$ .(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $GF = FI$ hay $F$ là trung điểm của $GI.$

Xét tứ giác $AGCI$ có hai đường chéo $GI$ và $AC$ cắt nhau tại trung điểm $F$ của mỗi đường nên tứ giác $AGCI$ là hình bình hành.

Lại có $GI$ vuông góc với $AC$ nên hình bình hành $AGCI$ là hình thoi.

Để $AGCI$ là hình vuông thì $GI = AC$.

Lại có $AB = 2AE,\,\,GI = 2GF$ và $AE = GF$nên $AB = GI$.

Khi đó ta sẽ có $AB = AC$ hay $\Delta ABC$ cân tại $A.$

Vậy tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ thì $AGCI$ là hình vuông.

Bộ 5 đề thi Cuối kì 1 Toán 8 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Đề 5

(1,0 điểm) Cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(A.\) Gọi \(G\) là trung điểm của \(BC.\) Qua \(G\) kẻ \(GE \bot AB\) \(\left( {E \in AB} \right)\) và \(GF \bot AC\) \(\left( {F \in AC} \right).\) T