(1,0 điểm) Cho hình vuông A B C D . Lấy điểm M thuộc đường chéo B D . Kẻ M E vuông góc với A B tại E , M F vuông góc với A D tại F . a) Tứ giác A E M F là

Hướng dẫn giải

a) Do \[ME \bot AB\] tại \(E\) nên \(\widehat {MEA} = 90^\circ .\)

Do \[MF \bot AD\] tại \(F\) nên \(\widehat {MFA} = 90^\circ .\)

Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(\widehat {EAF} = 90^\circ .\)

Tứ giác \[AEMF\] có \(\widehat {MFA} = \widehat {EAF} = \widehat {AEM} = 90^\circ \) nên \[AEMF\] là hình chữ nhật.

b) Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(BD\) là đường phân giác của \(\widehat {ABC}.\)

Do đó \(\widehat {ABD} = 45^\circ \) suy ra \(\Delta BEM\) vuông cân tại \(E\) nên \(BE = ME.\)

Do \[AEMF\] là hình chữ nhật nên \(ME = AF\) nên \(BE = AF.\)

Chu vi của hình chữ nhật \[AEMF\] là:

\[2\left( {AE + AF} \right) = 2\left( {AE + BE} \right) = 2AB.\]

Mà \(AB\) không đổi nên chu vi của hình chữ nhật \[AEMF\] không đổi.

Do đó, diện tích của tứ giác \[AEMF\] lớn nhất khi \[AEMF\] là hình vuông.

Suy ra \[ME = MF.\]

Khi đó \[\Delta BEM = \Delta DFM\] (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra \[BM = DM\] hay \[M\] là trung điểm của \[BC.\,\]

Vậy với \[M\] là trung điểm của \[BC\] thì diện tích của tứ giác \[AEMF\] lớn nhất.