(1,0 điểm) Cho hai đa thức: F ( x ) = 2 x 2 − 3 x + 2 x 3 − 4 + 4 x − 2 x 3 − 1 và G ( x ) = 13 − 12 x 3 + 1 − x + 12 x 3 + x 2 + 3 x . a) Thu gọn và sắp xếp hai đa thức trên theo chiề

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(F\left( x \right) = 2{x^2} - 3x + 2{x^3} - 4 + 4x - 2{x^3} - 1\)

\(F\left( x \right) = \left( {2{x^3} - 2{x^3}} \right) + 2{x^2} + \left( { - 3x + 4x} \right) - 4 - 1\)

\(F\left( x \right) = 2{x^2} + x - 5\).

Ta có: \(G\left( x \right) = 13 - 12{x^3} + 1 - x + 12{x^3} + {x^2} + 3x\)

\(G\left( x \right) = \left( { - 12{x^3} + 12{x^3}} \right) + {x^2} + \left( {3x - x} \right) + 1\)

\(G\left( x \right) = {x^2} + 2x + 1\).b) Ta có: \(H\left( x \right) + F\left( x \right) = G\left( x \right)\)

Suy ra \(H\left( x \right) = G\left( x \right) - F\left( x \right) = {x^2} + 2x + 1 - \left( {2{x^2} + x - 5} \right)\)

\(H\left( x \right) = {x^2} + 2x + 1 - 2{x^2} - x - 5\)

\(H\left( x \right) = \left( {{x^2} - 2{x^2}} \right) + \left( {2x - x} \right) + \left( {1 - 5} \right)\)

\(H\left( x \right) = - {x^2} + x - 4\).

Do đó, \(H\left( {\frac{1}{2}} \right) = - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{2} - 4 = - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - 4 = - \frac{{15}}{4}.\)