(1,0 điểm) Ba xạ thủ bắn vào bia, mỗi người bắn một lần với xác suất trúng đích tương ứng là \(x,y\) và \(0,6\). Biết xác suất để ít nhất một trong ba xạ thủ bắn trúng là \(0,976\) và xác suấ

Gọi \({A_i}\) là biến cố “Người thứ i bắn trúng” với \(i = 1,2,3\).

Ta có các \({A_i}\) độc lập với nhau và \(P\left( {{A_1}} \right) = x;P\left( {{A_2}} \right) = y;P\left( {{A_3}} \right) = 0,6\).

Gọi \(A\) là biến cố “Ít nhất một trong ba xạ thủ bắn trúng”, \(B\) là biến cố “Ba xạ thủ đều bắn trúng”, \(C\) là biến cố “Có đúng hai xạ thủ đều bắn trúng”.

Theo đề bài, ta có \(P\left( A \right) = 0,976;\,\,P\left( B \right) = 0,336\).

Ta có \(\overline A \) là biến cố “Không có xạ thủ bắn trúng”.

Suy ra \(\overline A = \overline {{A_1}} \overline {{A_2}} \overline {{A_3}} \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = P\left( {\overline {{A_1}} } \right) \cdot P\left( {\overline {{A_2}} } \right) \cdot P\left( {\overline {{A_3}} } \right) = \left( {1 - x} \right) \cdot \left( {1 - y} \right) \cdot 0,4\).

Lại có \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) \Leftrightarrow \left( {1 - x} \right)\left( {1 - y} \right) = \frac{3}{{50}} \Leftrightarrow xy - x - y = - \frac{{47}}{{50}}\) (1)

Tương tự ta có \[B = {A_1}{A_2}{A_3}\]

\[ \Rightarrow P\left( B \right) = P\left( {{A_1}} \right) \cdot P\left( {{A_2}} \right) \cdot P\left( {{A_3}} \right) = x \cdot y \cdot 0,6 = 0,336 \Rightarrow xy = \frac{{14}}{{25}}\] (2)

Từ (1), (2) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = \frac{3}{2}\\xy = \frac{{14}}{{25}}\end{array} \right.\).

Ta có \(C = \overline {{A_1}} {A_2}{A_3} + {A_1}\overline {{A_2}} {A_3} + {A_1}{A_2}\overline {{A_3}} \)

\( \Rightarrow P\left( C \right) = \left( {1 - x} \right)y \cdot 0,6 + x\left( {1 - y} \right) \cdot 0,6 + xy \cdot 0,4 = 0,6\left( {x + y} \right) - 0,8xy = 0,452.\)