(0,5 điểm) Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong nửa đường tròn ( O ) bán kính 10 cm , biết một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc trên đường kính của đường tròn

Gọi \(x\left( {cm} \right)\) là độ dài cạnh hình chữ nhật không nằm dọc theo đường kính đường tròn \(\left( {0 < x < 10} \right)\)

Khi đó độ dài cạnh hình chữ nhật nằm dọc trên đường kính của đường tròn là:

\(MQ = 2\sqrt {{{10}^2} - {x^2}} \left( {cm} \right)\)

Diện tích hình chữ nhật \(MNPQ\) là: \(S = x.2\sqrt {100 - {x^2}}  = 2\sqrt {{x^2}.\left( {100 - {x^2}} \right)} \left( {c{m^2}} \right)\)

Ta có: \(2\sqrt {{x^2}.\left( {100 - {x^2}} \right)}  \le {x^2} + 100 - {x^2} = 100\).

Dấu bằng xảy ra khi \({x^2} = 100 - {x^2} \Rightarrow x = 5\sqrt 2 \)

Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật là \(100c{m^2}\) khi \(x = 5\sqrt 2 \left( {cm} \right)\)