(0,5 điểm) Người ta muốn làm một vườn rau có dạng hình chữ nhật A B C D có diện tích 640 m^ 2
9/9
(0,5 điểm) Người ta muốn làm một vườn rau có dạng hình chữ nhật \(ABCD\) có diện tích \(640{m^2}\), để tạo thêm cảnh quan xung quanh đẹp hơn, người ta mở rộng thêm bốn phần diện tích để trồng hoa, tạo thành một đường tròn đi như hình vẽ, biết tâm hình tròn trùng với giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật. Khi đó chọn kích thước cạnh \(ABCD\) như thế nào để diện tích của bốn phần đất trồng hoa nhỏ nhất?
Độ dài đường kính của đường tròn là đường chéo của hình chữ nhật \(ABCD\),
Vậy biểu thức xác định đường kính của đường tròn là \(\sqrt {{x^2} + {y^2}} \)
Vậy bán kính của đường tròn là \(\frac{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}{2}\)
Diện tích đường tròn là \(S = \pi .\frac{{{x^2} + {y^2}}}{4}\)
Diện tích của hình chữ nhật là \({S_{hcn}} = xy = 640\left( {{m^2}} \right)\)
Diện tích phần đất trồng hoa là
\(S' = S - {S_{hcn}} = \pi .\frac{{{x^2} + {y^2}}}{4} - xy\;\)
Có \({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x;y\)
\[ \Rightarrow \]\({x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0\)\[ \Rightarrow \]\({x^2} + {y^2} \ge 2xy\)\[ \Rightarrow \]\(\frac{{{x^2} + {y^2}}}{4} \ge \frac{{xy}}{2} > 0\)
\[ \Rightarrow \]\(\frac{{\pi \left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}{4} \ge \frac{{\pi xy}}{2}\)\[ \Rightarrow \]\(\frac{{\pi \left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}{4} - xy \ge \frac{{\pi xy}}{2} - xy\)
Vậy \(S' \ge \frac{{\pi xy}}{2} - xy\;\)\[ \Rightarrow \]\(S \ge 320\pi - 640\)
Vậy để diện tích của bốn phần đất trồng hoa nhỏ nhất thì \(x = y\)
Khi đó \(x = y = 8\sqrt {10} \) (m)