(0,5 điểm) Người ta cần làm một cái bồn chứa dạng hình trụ có thể tích 1000 lít bằng inox để chứa nước, tính bán kính của hình trụ đó sao cho diện tích toàn phần của bồn chứa đó là nhỏ nhất

Đổi  \[1000\] lít =  \[1\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\]

Ta có thể tích của bể nước là

\[V = \pi {R^2}h = 1\]vậy \[h = \frac{1}{{\pi {R^2}}}\]

Khi đó diện tích toàn phần của hình trụ là  \[{S_{tp}} = 2\pi Rh + 2\pi {R^2}\]

Hay   \[{S_{tp}} = 2\pi R\frac{1}{{\pi {R^2}}} + 2\pi {R^2}\]

 \[{S_{tp}} = \frac{2}{R} + 2\pi {R^2}\left( {R > 0} \right)\]

Áp dụng bài toán phụ số 2: Với ba số không âm \(a;b;c\) thì \[a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\]

 ta có

   \[{S_{tp}} = \frac{2}{R} + 2\pi {R^2} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} + 2\pi {R^2}\]\[ \ge 3\sqrt[3]{{2\pi {R^2}\; \cdot \,\frac{1}{R}\; \cdot \,\frac{1}{R}}}\]\[ = 3\sqrt[3]{{2\pi }}\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\]

Vậy diện tích toàn phần nhỏ nhất khi và chỉ khi \[R = \sqrt[3]{{\frac{1}{{2\pi }}}}\,\,\left( {\rm{m}} \right)\]