(0,5 điểm) Một mảnh vải hình vuông có độ dài cạnh là c (với c < 1 )

Vì mảnh vải hình tam giác có độ dài ba cạnh lần lượt \(a\), \(b\), \(c\) thỏa mãn \(a + b + c = 1\) nên \(0 < a < 1\); \(0 < b < 1\); \(0 < c < 1\)

Ta có \({a^2} + {b^2} \ge 2ab\),

Suy ra \({\left( {a + b} \right)^2} \ge 4ab\) hay \(ab \le \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4}\),

Suy ra \(\frac{1}{{ab}} \ge \frac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(a = b\)

Khi đó ta có \(P = \frac{{a + b}}{{abc}} = \frac{{a + b}}{c}\, \cdot \,\frac{1}{{ab}} \ge \frac{{a + b}}{c}\, \cdot \,\frac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} = \frac{4}{{c\left( {a + b} \right)}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có \(\left( {a + b} \right) + c \ge 2\sqrt {\left( {a + b} \right)\,.\,c} \),

Suy ra \(1 \ge 2\sqrt {\left( {a + b} \right)\,.\,c} \)

Do đó \(\sqrt {\left( {a + b} \right)\,.\,c}  \le \frac{1}{2}\),

Suy ra \(\left( {a + b} \right)\,.\,c \le \frac{1}{4}\)

Suy ra \(\frac{4}{{\left( {a + b} \right)\,.\,c}} \ge 16\) hay \(P \ge 16\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = b\\a + b = c\\a + b + c = 1\end{array} \right.\), suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a = b = \frac{1}{4}\\c = \frac{1}{2}\end{array} \right.\) ( thỏa mãn các điều kiện)

Do đó min \(P = 16\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = b = \frac{1}{4}\\c = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

Vậy kích thước của mảnh vài hình tam giác đó là \(a = b = \frac{1}{4}\); \(c = \frac{1}{2}\).