(0,5 điểm) Một gia đình muốn xây một hồ chứa nước dạng hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng

Gọi chiều rộng của hình chữ nhật đáy bể là \(x\)(m) (\(x > 0\))

Suy ra chiều dài của hình chữ nhật là \(4x\)(m).

Gọi chiều cao của bể là \(y\) (m, \(y > 0\)).

Thể tích của bể là \[V = 4x.x.y = 400\] suy ra \[{x^2}.y = 100\] suy ra\[y = \frac{{100}}{{{x^2}}}\].

Diện tích xây dựng của bể là \[S = 4{x^2} + 2\left( {x + 4x} \right)y\]\[ = 4{x^2} + 10xy\]\[ = 4{x^2} + 10.\frac{{100}}{{{x^2}}}.x\]\[ = 4{x^2} + \frac{{1000}}{x}\]

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho 2 số không âm (với hai số không âm \(x,y\) ta có \({\left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right)^2} \ge 0\)nên \(x + y - 2\sqrt {xy}  \ge 0\) suy ra \(x + y \ge 2\sqrt {xy} \), dấu bằng xảy ra khi \[x = y\]):

Ta có \[S = 4{x^2} + \frac{{1000}}{x}\]\[ = \left( {4{x^2} + 100} \right) + \frac{{1000}}{x} - 100\]\[ \ge 2\sqrt {4{x^2}.100}  + \frac{{1000}}{x} - 100\]\[ = 40x + \frac{{1000}}{x} - 100\].

Và \[S \ge 40x + \frac{{1000}}{x} - 100\]\[ \ge 2\sqrt {40x.\frac{{1000}}{x}}  - 100\]\[ = 400 - 100 = 300\].

Khi đó \({S_{\min }} = 300\).

Dấu “\( = \)” xảy ra khi \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4{x^2} = 100}\\{40x = \frac{{1000}}{x}}\end{array}} \right.\] suy ra  \[x = 5\]

Vậy chi phí thấp nhất thuê nhân công là \[300.500\,000 = 150\,000\,000\] đồng \( = 150\)triệu đồng