(0,5 điểm) Giải bất phương trình ẩn x sau: x − a b a + b + x − b c b + c + x − a c a + c > a + b + c với a , b , c > 0 .

Hướng dẫn giải

Giải bất phương trình:

\[\frac{{x - ab}}{{a + b}} + \frac{{x - bc}}{{b + c}} + \frac{{x - ac}}{{a + c}} > a + b + c\]

\[\frac{{x - ab}}{{a + b}} + \frac{{x - bc}}{{b + c}} + \frac{{x - ac}}{{a + c}} - a - b - c > 0\]

\[\left( {\frac{{x - ab}}{{a + b}} - c} \right) + \left( {\frac{{x - bc}}{{b + c}} - a} \right) + \left( {\frac{{x - ac}}{{a + c}} - b} \right) > 0\]

\[\left( {\frac{{x - ab - ac - bc}}{{a + b}}} \right) + \left( {\frac{{x - bc - ab - ac}}{{b + c}}} \right) + \left( {\frac{{x - ac - ab - bc}}{{a + c}}} \right) > 0\]

\[\left( {x - ab - ac - bc} \right)\left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{a + c}}} \right) > 0\] (*)

Nhận thấy \[\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{a + c}} > 0\] với \[a,\,\,b,\,\,c > 0\].

Do đó, từ (*) ta suy ra \[x - ab - ac - bc > 0\] suy ra \[x > ab + bc + ac\]\[\left( {a,\,\,b,\,\,c > 0} \right)\].

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là \[x > ab + bc + ac\] với \[\left( {a,\,\,b,\,\,c > 0} \right)\].