(0,5 điểm) Độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2 : 3 : 5 . Hỏi ba chiều cao tương ứng của ba cạnh đó tỉ lệ với ba số nào?

Gọi độ dài ba cạnh của tam giác lần lượt là \(a,b,c\) và chiều cao tương ứng là \(x,y,z\).

Điều kiện: \(a,b,c,x,y,z > 0\). Tam giác có diện tích là \(S\).

Theo đề, ta có độ dài ba cạnh tỉ lệ với \(2:3:5\) nên \(\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{5}\) (1)

Có \(S = \frac{1}{2}ax = \frac{1}{2}by = \frac{1}{2}cz\) suy ra \(a = & \frac{{2S}}{x};b = \frac{{2S}}{y};c = \frac{{2S}}{z}\) nên \(\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{5} = \frac{{2S}}{{2x}} = \frac{{2S}}{{3y}} = \frac{{2S}}{{5z}}\) hay \(2x = 3y = 5z\).

Do đó, \(\frac{x}{{\frac{1}{2}}} = \frac{y}{{\frac{1}{3}}} = \frac{z}{{\frac{1}{5}}}\).

Vậy nên chiều cao tương ứng của ba cạnh trong tam giác thỏa mãn bài toán lần lượt tỉ lệ với \(\frac{1}{2};\frac{1}{3};\frac{1}{5}.\)