(0,5 điểm) Cửa hầm lò khai thác than có dạng một parabol

Đặt hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ. Parabol có dạng \(y = a{x^2}\left( {a < 0} \right)\)

Khoảng cách từ điểm cao nhất của cửa đến mặt đất là 4 mét, khoảng cách giữa hai chân cửa là 4 mét nên parabol đi qua điểm \[\left( {2; - 4} \right)\]

Suy ra:

 \[ - 4 = a{.2^2}\]

\[\,\,\,\,a =  - 1\]

Parabol có dạng \(y =  - {x^2}\)

Giả sử\[ABCD\]là hình chữ nhật có độ dài \[AB = CD = 2k\]

Khi đó 4 đỉnh của khung thép hình chữ nhật có tọa độ là:

\[A\left( {k;\, - 4} \right);\,\,B\left( { - k; - 4} \right);C\left( { - k;\,\,{k^2}} \right);D\left( {k;\,\,{k^2}} \right)\left( {k > 0} \right)\]

Suy ra \[AB = 2k;\,\,BC = 4 - {k^2}\]

Khi đó diện tích hình chữ nhật ABCD bằng \[2k\left( {4 - {k^2}} \right)\]

Ta có:

\[2k\left( {4 - {k^2}} \right) - \frac{{32}}{{3\sqrt 3 }}\]\( =  - 2\left( {{k^3} - 4k + \frac{{16}}{{3\sqrt 3 }}} \right)\)

\( =  - 2\left( {{k^2} - 2k.\frac{2}{{\sqrt 3 }} + \frac{4}{3}} \right).\left( {k + \frac{4}{{\sqrt 3 }}} \right)\)

\( =  - 2{\left( {k - \frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right)^2}\left( {k + \frac{4}{{\sqrt 3 }}} \right) \le 0\) với \(k > 0\)

Suy ra

\[2k\left( {4 - {k^2}} \right) \le \frac{{32}}{{3\sqrt 3 }}\]

Dấu “=” có khi \(k = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\)