(0,5 điểm) Công ty sản xuất thùng gỗ muốn thiết kế số lượng lớn thùng đựng hàng hóa bên trong

Gọi \[a\] (dm) là độ dài cạnh đáy của hình lăng trụ \[\left( {a > 0} \right)\]

Theo đề bài ta có chiều cao của lăng trụ là \(h = \frac{{62,5}}{{{a^2}}}\)

Diện tích xung quang của hình lăng trụ đứng là:

\(S = 4.\frac{{62,5}}{{{a^2}}}.a + {a^2} = \frac{{250}}{a} + {a^2} = \frac{{125}}{a} + \frac{{125}}{a} + {a^2}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương ta có \(S \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{125}}{a}.\frac{{125}}{a}.{a^2}}} = 75\).

Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{{125}}{a} = {a^2}\) hay \(a = 5\).

Vậy diện tích gỗ nhỏ nhất để sản xuất thùng là \(75{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\) khi độ dài cạnh đáy là \(5{\rm{d}}m\).