(0,5 điểm) Chứng minh rằng nếu a + b b + c = c + d d + a ( c + d ≠ 0 ) thì a = c hoặc a + b + c + d = 0 .

Hướng dẫn giải

Vì \(\frac{{a + b}}{{b + c}} = \frac{{c + d}}{{d + a}}\) nên \(\frac{{a + b}}{{c + d}} = \frac{{c + b}}{{d + a}}\).

Suy ra \(\frac{{a + b}}{{c + d}} + 1 = \frac{{c + b}}{{d + a}} + 1\).

Do đó \(\frac{{a + b}}{{c + d}} + \frac{{c + d}}{{c + d}} = \frac{{c + b}}{{d + a}} + \frac{{d + a}}{{d + a}}\) hay \(\frac{{a + b + c + d}}{{c + d}} = \frac{{c + b + d + a}}{{d + a}}\) (*)

Nếu \(a + b + c + d \ne 0\) nên từ (*) suy ra \(a + d = c + d\) suy ra \(a = c.\)

Nếu \(a + b + c + d = 0\) thì ta có tỉ lệ thức luôn đúng (\(a\) có thể bằng hoặc không bằng \(c\))

Vậy nếu \(\frac{{a + b}}{{b + c}} = \frac{{c + d}}{{d + a}}{\rm{ }}\left( {c + d \ne 0} \right)\) thì \(a = c\) hoặc \(a + b + c + d = 0\).