(0,5 điểm) Cho x , y là hai số thực thỏa mãn điều kiện x 2 + 2 y 2 + 2 x y + 7 x + 7 y + 10 = 0. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2 x + 2 y − 3 x + y +

Hướng dẫn giải

Ta có: \[{x^2} + 2{y^2} + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0.\]

\(\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) + 7x + 7y + {y^2} + 10 = 0\)

\({\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right)^2} + 7\left( {x + y} \right) + {y^2} + 10 = 0 & \left( 1 \right)\)

Đặt \[S = x + y\].

Khi đó phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành: \[{S^2} + 7S + {y^2} + 10 = 0\]

\({S^2} + 7S + \frac{{49}}{4} = \frac{9}{4} - {y^2}\)

\({\left( {S + \frac{7}{2}} \right)^2} = \frac{9}{4} - {y^2} \le \frac{9}{4}\).

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{9}{4} - {y^2} = \frac{9}{4}\) hay \(y = 0\).

Do đó \({\left( {S + \frac{7}{2}} \right)^2} \le \frac{9}{4}\) nên \(\frac{{ - 3}}{2} \le S + \frac{7}{2} \le \frac{3}{2}\) hay \[ - 5 \le S \le - 2.\]

Ta có \(P = \frac{{2x + 2y - 3}}{{x + y + 6}} = \frac{{2\left( {x + y + 6} \right) - 15}}{{x + y + 6}}\) \( = 2 - \frac{{15}}{{x + y + 6}} = 2 - \frac{{15}}{{S + 6}} & \left( 2 \right)\)

Với \[ - \,5 \le S \le - \,2\] thì \(1 \le S + 6 \le 4\)

\(\frac{{15}}{4} \le \frac{{15}}{{S + 6}} \le 15\)

\(2 - 15 \le 2 - \frac{{15}}{{S + 6}} \le 2 - \frac{{15}}{4}\)

\( - 13 \le 2 - \frac{{15}}{{S + 6}} \le - \frac{7}{4}\)

\( - 13 \le P \le - \frac{7}{4}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P\] là \[ - 13\] khi \(x = - 5\,;\,\,y = 0\).

Và giá trị lớn nhất của biểu thức \(P\) là \(\frac{{ - 7}}{4}\) khi \[x = - 2\,;\,\,y = 0.\]