(0,5 điểm) Cho tứ giác A B C D có α là góc nhọn tạo bởi hai đường chéo, chứng minh rằng: S A B C D = 1 2 A C ⋅ B D ⋅ sin α .

Hướng dẫn giải

Gọi \(E\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD.\) Kẻ đường cao \(AH\) xuống \(BD\) và đường cao \(DK\) xuống \(AC\). Xét \(\Delta AEH\) vuông tại \(H\) có: \(AH = AE.\sin \alpha .\) Do đó \({S_{ADE}} = \frac{1}{2}DE \cdot AH = \frac{1}{2}DE \cdot AE \cdot \sin \alpha .\) Ta có: \(\frac{{{S_{ADE}}}}{{{S_{ADC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}DK \cdot AE}}{{\frac{1}{2}DK \cdot AC}} = \frac{{AE}}{{AC}}\)

Suy ra \({S_{ADC}} = \frac{{AC}}{{AE}} \cdot {S_{ADE}} = \frac{{AC}}{{AE}} \cdot \frac{1}{2}DE \cdot AE \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2}DE \cdot AC \cdot \sin \alpha .\)

Tương tự, ta có: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}BE \cdot AC \cdot \sin \alpha \)

Khi đó: \({S_{ABCD}} = {S_{ADC}} + {S_{ABC}} = \frac{1}{2}DE \cdot AC \cdot \sin \alpha + \frac{1}{2}BE \cdot AC \cdot \sin \alpha \)

\( = \frac{1}{2}AC \cdot \left( {DE + BE} \right) \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2}AC \cdot BD \cdot \sin \alpha \).

Vậy \({S_{ABCD}} = \frac{1}{2}AC \cdot BD \cdot \sin \alpha .\)