(0,5 điểm) Cho tỉ lệ thức a c = c b . Chứng minh rằng tỉ lệ thức b 2 − a 2 a 2 + c 2 = b − a a .

Hướng dẫn giải

Từ tỉ lệ thức \(\frac{a}{c} = \frac{c}{b}\) suy ra \({c^2} = ab\) (1)

Đặt \(\frac{a}{c} = \frac{c}{b} = k\) suy ra \(a = ck;c = bk\). Do đó, \(\frac{{{a^2} + {c^2}}}{{{b^2} + {c^2}}} = \frac{{{{\left( {ck} \right)}^2} + {c^2}}}{{{b^2} + {{\left( {bk} \right)}^2}}} = \frac{{{c^2}\left( {{k^2} + 1} \right)}}{{{b^2}\left( {{k^2} + 1} \right)}} = \frac{{{c^2}}}{{{b^2}}}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có: \(\frac{{{a^2} + {c^2}}}{{{b^2} + {c^2}}} = \frac{{{c^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{ab}}{{{b^2}}} = \frac{a}{b}.\)

Suy ra \(\frac{{{b^2} + {c^2}}}{{{a^2} + {c^2}}} = \frac{b}{a}\), suy ra \(\frac{{{b^2} + {c^2}}}{{{a^2} + {c^2}}} - 1 = \frac{b}{a} - 1\) hay \(\frac{{{b^2} + {c^2} - {c^2} - {a^2}}}{{{a^2} + {c^2}}} = \frac{{b - a}}{a}\).

Do đó, \(\frac{{{b^2} - {a^2}}}{{{a^2} + {c^2}}} = \frac{{b - a}}{a}\) (đpcm).